📝 题目
13．求旋转椭球面 $3 x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$ 上点 $(-1,-2,3)$ 处的切平面与 $x O y$ 面的夹角的余弦．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知旋转椭球面方程为 $$ 3x^{2}+y^{2}+z^{2}=16. $$ 令 $$ F(x,y,z)=3x^{2}+y^{2}+z^{2}-16, $$ 则曲面上点 $(-1,-2,3)$ 处的法向量为梯度 $$ \nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z} \right) = (6x,\;2y,\;2z). $$ 代入点 $(-1,-2,3)$： $$ \mathbf{n} = (6(-1),\;2(-2),\;2(3)) = (-6,\;-4,\;6). $$
该点处的切平面方程为 $$ -6(x+1) -4(y+2) +6(z-3)=0. $$
$xOy$ 平面（即 $z=0$ 平面）的法向量可取为 $$ \mathbf{n}_{0} = (0,0,1). $$
两平面夹角 $\theta$ 的余弦等于它们法向量夹角余弦的绝对值： $$ \cos\theta = \frac{|\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_{0}|}{\|\mathbf{n}\|\,\|\mathbf{n}_{0}\|} = \frac{|(-6)\cdot0 + (-4)\cdot0 + 6\cdot1|}{\sqrt{(-6)^{2}+(-4)^{2}+6^{2}}\;\cdot 1} = \frac{6}{\sqrt{36+16+36}} = \frac{6}{\sqrt{88}}. $$
化简： $$ \sqrt{88} = 2\sqrt{22},\quad \cos\theta = \frac{6}{2\sqrt{22}} = \frac{3}{\sqrt{22}}. $$
因此，所求夹角的余弦为 $$ \boxed{\dfrac{3}{\sqrt{22}}}. $$
难度：★★☆☆☆