📝 题目
9．设 $z=x y+x F(u)$ ，而 $u=\frac{y}{x}, F(u)$ 为可导函数，证明 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z+x y$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知： $$ z = xy + xF(u), \quad u = \frac{y}{x} $$ 且 $F(u)$ 可导。
首先，分别求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
**1. 对 $x$ 求偏导**（注意 $u$ 也依赖于 $x$）： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = y + F(u) + x \cdot F'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} $$ 而 $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{y}{x} \right) = -\frac{y}{x^2} $$ 所以 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = y + F(u) + x F'(u) \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right) = y + F(u) - \frac{y}{x} F'(u) $$
**2. 对 $y$ 求偏导**： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = x + x F'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y} $$ 而 $$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x} $$ 所以 $$ \frac{\partial z}{\partial y} = x + x F'(u) \cdot \frac{1}{x} = x + F'(u) $$
**3. 代入要证明的等式左边**： $$ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = x\left[ y + F(u) - \frac{y}{x} F'(u) \right] + y\left[ x + F'(u) \right] $$ 展开： $$ = xy + xF(u) - yF'(u) + xy + yF'(u) $$ 注意 $- yF'(u) + yF'(u) = 0$，所以 $$ = 2xy + xF(u) $$
**4. 与右边比较**： 右边为 $$ z + xy = (xy + xF(u)) + xy = 2xy + xF(u) $$ 左右相等，证毕。