📝 题目
6．求下列各极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{1-x y}{x^{2}+y^{2}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{y}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2-\sqrt{x y+4}}{x y}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{2-\mathrm{e}^{x y}}-1}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(2,0)} \frac{\tan (x y)}{y}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{e}^{x^{2} y^{2}}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 求极限 $$ \lim_{(x,y)\to(0,1)} \frac{1-xy}{x^2+y^2}. $$ 由于分母在点 $(0,1)$ 处为 $0^2+1^2=1\neq 0$，分子为 $1-0\cdot 1=1$，因此直接代入得 $$ \frac{1}{1}=1. $$ 故极限为 $1$.
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**（2）** 求极限 $$ \lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{\ln(x+e^y)}{\sqrt{x^2+y^2}}. $$ 直接代入 $(1,0)$：分子 $\ln(1+e^0)=\ln 2$，分母 $\sqrt{1^2+0^2}=1$，所以极限为 $$ \ln 2. $$
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**（3）** 求极限 $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2-\sqrt{xy+4}}{xy}. $$ 令 $t=xy$，则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $t\to 0$，原式化为 $$ \lim_{t\to 0}\frac{2-\sqrt{t+4}}{t}. $$ 分子有理化： $$ \frac{2-\sqrt{t+4}}{t} = \frac{(2-\sqrt{t+4})(2+\sqrt{t+4})}{t(2+\sqrt{t+4})} = \frac{4-(t+4)}{t(2+\sqrt{t+4})} = \frac{-t}{t(2+\sqrt{t+4})} = \frac{-1}{2+\sqrt{t+4}}. $$ 当 $t\to 0$ 时，分母趋于 $2+\sqrt{4}=4$，所以极限为 $$ -\frac{1}{4}. $$
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**（4）** 求极限 $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{2-e^{xy}}-1}. $$ 令 $t=xy$，则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $t\to 0$，原式化为 $$ \lim_{t\to 0} \frac{t}{\sqrt{2-e^{t}}-1}. $$ 分子分母同时乘以共轭式 $\sqrt{2-e^{t}}+1$： $$ \frac{t}{\sqrt{2-e^{t}}-1} = \frac{t(\sqrt{2-e^{t}}+1)}{(2-e^{t})-1} = \frac{t(\sqrt{2-e^{t}}+1)}{1-e^{t}}. $$ 利用等价无穷小：当 $t\to 0$ 时，$1-e^{t}\sim -t$，因此 $$ \frac{t(\sqrt{2-e^{t}}+1)}{1-e^{t}} \sim \frac{t(\sqrt{2-1}+1)}{-t} = \frac{2}{-1} = -2. $$ 故极限为 $-2$.
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**（5）** 求极限 $$ \lim_{(x,y)\to(2,0)} \frac{\tan(xy)}{y}. $$ 令 $t=xy$，则当 $y\to 0$ 时 $t\to 0$，且 $x\to 2$，原式可写为 $$ \lim_{y\to 0} \frac{\tan(2y)}{y}. $$ 利用等价无穷小 $\tan(2y)\sim 2y$，得 $$ \frac{\tan(2y)}{y} \sim \frac{2y}{y}=2. $$ 故极限为 $2$.
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**（6）** 求极限 $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)e^{x^2y^2}}. $$ 令 $r^2 = x^2+y^2$，则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $r\to 0$，且 $e^{x^2y^2}\to e^0=1$。利用等价无穷小：当 $r\to 0$ 时，$1-\cos(r^2)\sim \frac{1}{2}r^4$，因此 $$ \frac{1-\cos(r^2)}{r^2 e^{x^2y^2}} \sim \frac{\frac12 r^4}{r^2\cdot 1} = \frac12 r^2 \to 0. $$ 故极限为 $0$.