📝 题目
5．求下列各函数的定义域： （1）$z=\ln \left(y^{2}-2 x+1\right)$ ； （2）$z=\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{x-y}}$ ； （3）$z=\sqrt{x-\sqrt{y}}$ ； （4）$z=\ln (y-x)+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$ ； （5）$u=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}}(R\gt r\gt 0)$ ； （6）$u=\arccos \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题定义域的求解过程：
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**（1）** $z=\ln \left(y^{2}-2 x+1\right)$ 对数函数要求真数大于0： $$y^{2}-2x+1>0$$ 即 $$y^{2}>2x-1$$ 所以定义域为 $$\{(x,y)\mid y^{2}>2x-1\}$$
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**（2）** $z=\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{x-y}}$ 分母不能为零，且根号内非负，因此： $$\begin{cases} x+y>0\\ x-y>0 \end{cases}$$ 即 $$x>|y|$$ 所以定义域为 $$\{(x,y)\mid x>|y|\}$$
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**（3）** $z=\sqrt{x-\sqrt{y}}$ 外层根号内非负，且内层根号要求 $y\ge 0$： $$\begin{cases} y\ge 0\\ x-\sqrt{y}\ge 0 \end{cases}$$ 即 $$x\ge \sqrt{y},\quad y\ge 0$$ 所以定义域为 $$\{(x,y)\mid y\ge 0,\; x\ge \sqrt{y}\}$$
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**（4）** $z=\ln (y-x)+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$ 对数要求 $y-x>0$； 分子根号要求 $x\ge 0$； 分母根号要求 $1-x^{2}-y^{2}>0$（分母不为零）。 因此： $$\begin{cases} y>x\\ x\ge 0\\ x^{2}+y^{2}<1 \end{cases}$$ 所以定义域为 $$\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y>x,\; x^{2}+y^{2}<1\}$$
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**（5）** $u=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\quad R>r>0$ 第一项根号要求 $R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\ge 0$，即 $$x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2}$$ 第二项分母根号要求 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}>0$，即 $$x^{2}+y^{2}+z^{2}>r^{2}$$ 因此定义域为 $$\{(x,y,z)\mid r^{2} --- **（6）** $u=\arccos \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 反余弦函数的定义域为 $[-1,1]$，因此 $$-1\le \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\le 1$$ 即 $$\left|\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right|\le 1$$ 等价于 $$|z|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}$$ 另外分母 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0$，即 $x^{2}+y^{2}\neq 0$。 所以定义域为 $$\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}>0,\; |z|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}\}$$