📝 题目
3．求函数 $z=1-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)$ 在点 $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ 处沿曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在该点的内法线方向的方向导数．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求函数 $$ z = 1 - \left( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} \right) $$ 在点 $$ P_0 = \left( \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}} \right) $$ 处，沿着曲线 $$ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $$ 在该点的**内法线方向**的方向导数。
---
**第一步：求梯度**
函数为 $$ z = f(x, y) = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} $$ 计算偏导数： $$ \frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{2x}{a^{2}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2y}{b^{2}} $$ 在点 $P_0$ 处： $$ f_x(P_0) = -\frac{2}{a^{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{a\sqrt{2}} $$ $$ f_y(P_0) = -\frac{2}{b^{2}} \cdot \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{b\sqrt{2}} $$ 所以梯度为： $$ \nabla f(P_0) = \left( -\frac{2}{a\sqrt{2}}, -\frac{2}{b\sqrt{2}} \right) $$
---
**第二步：求内法线方向**
曲线 $$ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $$ 是椭圆，其梯度方向即为法线方向。令 $$ F(x, y) = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1 $$ 则 $$ \nabla F = \left( \frac{2x}{a^{2}}, \frac{2y}{b^{2}} \right) $$ 在 $P_0$ 处： $$ \nabla F(P_0) = \left( \frac{2}{a^{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{2}{b^{2}} \cdot \frac{b}{\sqrt{2}} \right) = \left( \frac{2}{a\sqrt{2}}, \frac{2}{b\sqrt{2}} \right) $$ 这个方向指向椭圆外部（因为梯度指向函数增加最快的方向，而椭圆外部 $F>0$）。 因此**内法线方向**是它的反向，即 $$ \mathbf{n}_{\text{内}} = \left( -\frac{2}{a\sqrt{2}}, -\frac{2}{b\sqrt{2}} \right) $$ 单位化： 模长 $$ \left\| \nabla F(P_0) \right\| = \sqrt{ \left( \frac{2}{a\sqrt{2}} \right)^{2} + \left( \frac{2}{b\sqrt{2}} \right)^{2} } = \sqrt{ \frac{2}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}} } = \sqrt{2\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \right) } $$ 所以单位内法向量为： $$ \mathbf{l} = \frac{ \left( -\frac{2}{a\sqrt{2}}, -\frac{2}{b\sqrt{2}} \right) } { \sqrt{2\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \right) } } = \frac{ - \left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b} \right) } { \sqrt{ \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} } } $$
---
**第三步：方向导数**
方向导数公式： $$ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(P_0) = \nabla f(P_0) \cdot \mathbf{l} $$ 代入： $$ \nabla f(P_0) = \left( -\frac{2}{a\sqrt{2}}, -\frac{2}{b\sqrt{2}} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{a}, -\frac{\sqrt{2}}{b} \quad \text{？检查：} $$ 实际上 $$ -\frac{2}{a\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{a} $$ 所以 $$ \nabla f(P_0) = \left( -\frac{\sqrt{2}}{a}, -\frac{\sqrt{2}}{b} \right) $$ 而 $$ \mathbf{l} = \frac{ -\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b} \right) }{ \sqrt{ \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} } } $$ 点乘： $$ \nabla f \cdot \mathbf{l} = \frac{ \left( -\frac{\sqrt{2}}{a} \right)\left( -\frac{1}{a} \right) + \left( -\frac{\sqrt{2}}{b} \right)\left( -\frac{1}{b} \right) } { \sqrt{ \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} } } $$ 分子： $$ \frac{\sqrt{2}}{a^{2}} + \frac{\sqrt{2}}{b^{2}} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \right) $$ 因此方向导数为： $$ \frac{ \sqrt{2} \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \right) } { \sqrt{ \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} } } = \sqrt{2} \sqrt{ \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} } $$
---
**最终答案** $$ \boxed{\displaystyle \sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}}} $$
难度：★★☆☆☆