📝 题目
2．下列各题中，$r=f(t)$ 是空间中的质点 $M$ 在时刻 $t$ 的位置，求质点 $M$ 在时刻 $t_{0}$ 的速度向量和加速度向量以及在任意时刻 $t$ 的速率： （1）$r=f(t)=(t+1) i+\left(t^{2}-1\right) j+2 t k, t_{0}=1$ ； （2）$r=f(t)=(2 \cos t) i+(3 \sin t) j+4 t k, t_{0}=\frac{\pi}{2}$ ； （3）$r=f(t)=(2 \ln (t+1)) i+t^{2} j+\frac{1}{2} t^{2} k, t_{0}=1$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 已知 $$ r=f(t)=(t+1)i+(t^2-1)j+2t k $$ 速度向量 $$ v(t)=f'(t)=1\cdot i+2t\cdot j+2\cdot k $$ 在 $t_0=1$ 时 $$ v(1)=i+2j+2k $$ 加速度向量 $$ a(t)=f''(t)=0\cdot i+2\cdot j+0\cdot k=2j $$ 在 $t_0=1$ 时 $$ a(1)=2j $$ 任意时刻速率 $$ |v(t)|=\sqrt{1^2+(2t)^2+2^2}=\sqrt{1+4t^2+4}=\sqrt{4t^2+5} $$
**（2）** 已知 $$ r=f(t)=(2\cos t)i+(3\sin t)j+4t k $$ 速度向量 $$ v(t)=(-2\sin t)i+(3\cos t)j+4k $$ 在 $t_0=\frac{\pi}{2}$ 时 $$ v\left(\frac{\pi}{2}\right)=(-2\cdot1)i+(3\cdot0)j+4k=-2i+4k $$ 加速度向量 $$ a(t)=(-2\cos t)i+(-3\sin t)j+0k $$ 在 $t_0=\frac{\pi}{2}$ 时 $$ a\left(\frac{\pi}{2}\right)=(-2\cdot0)i+(-3\cdot1)j=-3j $$ 任意时刻速率 $$ |v(t)|=\sqrt{(-2\sin t)^2+(3\cos t)^2+4^2}=\sqrt{4\sin^2 t+9\cos^2 t+16} $$
**（3）** 已知 $$ r=f(t)=(2\ln(t+1))i+t^2 j+\frac{1}{2}t^2 k $$ 速度向量 $$ v(t)=\left(\frac{2}{t+1}\right)i+2t j+t k $$ 在 $t_0=1$ 时 $$ v(1)=\frac{2}{2}i+2\cdot1 j+1\cdot k=i+2j+k $$ 加速度向量 $$ a(t)=\left(-\frac{2}{(t+1)^2}\right)i+2j+1k $$ 在 $t_0=1$ 时 $$ a(1)=-\frac{2}{4}i+2j+k=-\frac{1}{2}i+2j+k $$ 任意时刻速率 $$ |v(t)|=\sqrt{\left(\frac{2}{t+1}\right)^2+(2t)^2+t^2}=\sqrt{\frac{4}{(t+1)^2}+4t^2+t^2}=\sqrt{\frac{4}{(t+1)^2}+5t^2} $$
难度：★★☆☆☆