📝 题目
15．设 $\boldsymbol{u}(t), \boldsymbol{v}(t)$ 是可导的向量值函数，证明： （1）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \pm \boldsymbol{v}(t)]=\boldsymbol{u}^{\prime}(t) \pm \boldsymbol{v}^{\prime}(t)$ ； （2）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}(t)]=\boldsymbol{u}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}^{\prime}(t)$ ； （3）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}(t)]=\boldsymbol{u}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}^{\prime}(t)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**：设向量值函数 $\boldsymbol{u}(t), \boldsymbol{v}(t)$ 在区间上可导，其分量形式可写为： $$ \boldsymbol{u}(t) = (u_1(t), u_2(t), u_3(t)), \quad \boldsymbol{v}(t) = (v_1(t), v_2(t), v_3(t)), $$ 其中每个分量函数均可导。
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### （1）和与差的导数 由导数的定义： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \pm \boldsymbol{v}(t)] = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{[\boldsymbol{u}(t+\Delta t) \pm \boldsymbol{v}(t+\Delta t)] - [\boldsymbol{u}(t) \pm \boldsymbol{v}(t)]}{\Delta t} $$ $$ = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\boldsymbol{u}(t+\Delta t) - \boldsymbol{u}(t)}{\Delta t} \pm \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\boldsymbol{v}(t+\Delta t) - \boldsymbol{v}(t)}{\Delta t} = \boldsymbol{u}'(t) \pm \boldsymbol{v}'(t). $$ 因此结论成立。
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### （2）点积的导数 利用分量表示： $$ \boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}(t) = \sum_{i=1}^{3} u_i(t) v_i(t). $$ 对 $t$ 求导： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}(t)] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum_{i=1}^{3} u_i(t) v_i(t) = \sum_{i=1}^{3} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[u_i(t) v_i(t)]. $$ 由乘积法则： $$ = \sum_{i=1}^{3} \left[ u_i'(t) v_i(t) + u_i(t) v_i'(t) \right] = \sum_{i=1}^{3} u_i'(t) v_i(t) + \sum_{i=1}^{3} u_i(t) v_i'(t) = \boldsymbol{u}'(t) \cdot \boldsymbol{v}(t) + \boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}'(t). $$ 因此结论成立。
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### （3）叉积的导数 利用叉积的分量公式： $$ \boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1 \right). $$ 对每个分量求导，以第一个分量为例： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(u_2 v_3 - u_3 v_2) = u_2' v_3 + u_2 v_3' - (u_3' v_2 + u_3 v_2') = (u_2' v_3 - u_3' v_2) + (u_2 v_3' - u_3 v_2'). $$ 这恰好是 $\boldsymbol{u}'(t) \times \boldsymbol{v}(t)$ 与 $\boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}'(t)$ 的第一个分量之和。类似地，其余两个分量也成立，因此： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}(t)] = \boldsymbol{u}'(t) \times \boldsymbol{v}(t) + \boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}'(t). $$ 证毕。
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**难度评级**：★★☆☆☆