📝 题目
3．求曲线 $r=f(t)=(t-\sin t) i+(1-\cos t) j+\left(4 \sin \frac{t}{2}\right) k$ 在与 $t_{0}=\frac{\pi}{2}$ 相应的点处的切线及法平面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知曲线 $$ r(t) = (t - \sin t) \mathbf{i} + (1 - \cos t) \mathbf{j} + \left(4 \sin \frac{t}{2}\right) \mathbf{k} $$ 在 $ t_0 = \frac{\pi}{2} $ 处求切线及法平面方程。
**第一步：求切点坐标** 代入 $ t_0 = \frac{\pi}{2} $： $$ x_0 = \frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1 $$ $$ y_0 = 1 - \cos\frac{\pi}{2} = 1 - 0 = 1 $$ $$ z_0 = 4 \sin\frac{\pi}{4} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $$ 所以切点为 $$ P_0\left( \frac{\pi}{2} - 1,\ 1,\ 2\sqrt{2} \right) $$
**第二步：求切向量（导数）** $$ r'(t) = (1 - \cos t) \mathbf{i} + (\sin t) \mathbf{j} + \left(2 \cos \frac{t}{2}\right) \mathbf{k} $$ 代入 $ t_0 = \frac{\pi}{2} $： $$ r'\left( \frac{\pi}{2} \right) = \left(1 - \cos\frac{\pi}{2}\right) \mathbf{i} + \left(\sin\frac{\pi}{2}\right) \mathbf{j} + \left(2 \cos\frac{\pi}{4}\right) \mathbf{k} $$ $$ = (1 - 0) \mathbf{i} + (1) \mathbf{j} + \left(2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \mathbf{k} $$ $$ = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \sqrt{2} \mathbf{k} $$ 即切向量为 $$ T = (1, 1, \sqrt{2}) $$
**第三步：切线方程** 切线方向向量即为 $ T $，过点 $ P_0 $，参数式： $$ \begin{cases} x = \displaystyle \frac{\pi}{2} - 1 + t \$$2mm] y = 1 + t \$$2mm] z = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} t \end{cases} $$ 对称式： $$ \frac{x - \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$
**第四步：法平面方程** 法平面法向量即切向量 $ (1, 1, \sqrt{2}) $，法平面方程为 $$ 1 \cdot \left( x - \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \right) + 1 \cdot (y - 1) + \sqrt{2} \cdot (z - 2\sqrt{2}) = 0 $$ 化简： $$ x - \frac{\pi}{2} + 1 + y - 1 + \sqrt{2}z - 4 = 0 $$ $$ x + y + \sqrt{2}z - \frac{\pi}{2} - 4 = 0 $$
**最终答案** 切线方程（对称式）： $$ \displaystyle \frac{x - \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$ 法平面方程： $$ \displaystyle x + y + \sqrt{2}z = \frac{\pi}{2} + 4 $$
难度：★★☆☆☆ （基本向量函数求导与空间几何应用，计算量较小，但需注意三角值代入和化简）