📝 题目
4．求曲线 $x=\frac{t}{1+t}, y=\frac{1+t}{t}, z=t^{2}$ 在对应于 $t_{0}=1$ 的点处的切线及法平面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知曲线参数方程为 $$ x=\frac{t}{1+t},\quad y=\frac{1+t}{t},\quad z=t^{2} $$ 对应点参数 $t_0=1$。
**第一步：求对应点的坐标** 当 $t=1$ 时： $$ x_0 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2},\quad y_0 = \frac{1+1}{1} = 2,\quad z_0 = 1^2 = 1 $$ 所以点为 $$ \left(\frac12, 2, 1\right) $$
**第二步：求切向量** 分别对 $t$ 求导： $$ x'(t) = \frac{(1+t)-t}{(1+t)^2} = \frac{1}{(1+t)^2} $$ $$ y'(t) = \frac{t - (1+t)}{t^2} = \frac{-1}{t^2} $$ $$ z'(t) = 2t $$ 代入 $t=1$： $$ x'(1) = \frac{1}{(1+1)^2} = \frac{1}{4},\quad y'(1) = -1,\quad z'(1) = 2 $$ 所以切向量为 $$ \vec{T} = \left( \frac14,\ -1,\ 2 \right) $$
**第三步：切线方程** 切线方向向量即 $\vec{T}$，切线方程（对称式）为： $$ \frac{x - \frac12}{\frac14} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{2} $$ 也可以写为参数形式： $$ x = \frac12 + \frac14 s,\quad y = 2 - s,\quad z = 1 + 2s,\quad s\in\mathbb{R} $$
**第四步：法平面方程** 法平面法向量即切向量，方程为： $$ \frac14\left(x - \frac12\right) + (-1)(y - 2) + 2(z - 1) = 0 $$ 化简： $$ \frac14 x - \frac18 - y + 2 + 2z - 2 = 0 $$ $$ \frac14 x - y + 2z - \frac18 = 0 $$ 两边乘以 8 得整系数形式： $$ 2x - 8y + 16z - 1 = 0 $$
**最终答案** 切线方程： $$ \frac{x-\frac12}{\frac14} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{2} $$ 法平面方程： $$ 2x - 8y + 16z - 1 = 0 $$
难度：★☆☆☆☆