📝 题目
3．试证函数 $F(x, y)=\ln x \cdot \ln y$ 满足关系式
$$ F(x y, u v)=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v) . $$
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知函数 $$ F(x, y) = \ln x \cdot \ln y. $$ 要证明对于任意正数 $x, y, u, v$，有 $$ F(xy, uv) = F(x, u) + F(x, v) + F(y, u) + F(y, v). $$
**证明步骤：**
首先，由定义写出左边： $$ F(xy, uv) = \ln(xy) \cdot \ln(uv). $$
利用对数的性质： $$ \ln(xy) = \ln x + \ln y, \quad \ln(uv) = \ln u + \ln v. $$
因此， $$ F(xy, uv) = (\ln x + \ln y)(\ln u + \ln v). $$
展开乘积： $$ (\ln x + \ln y)(\ln u + \ln v) = \ln x \cdot \ln u + \ln x \cdot \ln v + \ln y \cdot \ln u + \ln y \cdot \ln v. $$
由函数定义，每一项恰好是： $$ \ln x \cdot \ln u = F(x, u), \quad \ln x \cdot \ln v = F(x, v), \quad \ln y \cdot \ln u = F(y, u), \quad \ln y \cdot \ln v = F(y, v). $$
因此， $$ F(xy, uv) = F(x, u) + F(x, v) + F(y, u) + F(y, v). $$
证毕。
难度：★☆☆☆☆