📝 题目
2．已知函数 $f(x, y)=x^{2}+y^{2}-x y \tan \frac{x}{y}$ ，试求 $f(t x, t y)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知函数 $$ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - x y \tan\frac{x}{y} $$ 要求计算 $ f(tx, ty) $，即把自变量 $x$ 替换为 $tx$，$y$ 替换为 $ty$。
代入得： $$ f(tx, ty) = (tx)^{2} + (ty)^{2} - (tx)(ty) \tan\frac{tx}{ty} $$
分别化简各项： $$ (tx)^2 = t^{2}x^{2}, \quad (ty)^2 = t^{2}y^{2}, \quad (tx)(ty) = t^{2}xy $$ 且 $$ \frac{tx}{ty} = \frac{x}{y} $$ 因此： $$ f(tx, ty) = t^{2}x^{2} + t^{2}y^{2} - t^{2}xy \tan\frac{x}{y} $$
提取公因式 $t^{2}$： $$ f(tx, ty) = t^{2} \left( x^{2} + y^{2} - xy \tan\frac{x}{y} \right) $$
注意到括号内正是原函数 $f(x, y)$，因此： $$ \boxed{f(tx, ty) = t^{2} f(x, y)} $$
难度：★☆☆☆☆