📝 题目
5．设 $f(x, y)=x+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}}$ ，求 $f_{x}(x, 1)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知函数 $$ f(x, y)=x+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}}. $$ 要求 $ f_x(x, 1) $，即先对 $x$ 求偏导，再将 $y=1$ 代入。
第一步：对 $x$ 求偏导（将 $y$ 视为常数）。 $$ f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left[ x \right] + \frac{\partial}{\partial x} \left[ (y-1) \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}} \right]. $$ 第一项导数为 $1$。 第二项中 $(y-1)$ 是常数因子，所以只需对 $\arcsin \sqrt{\frac{x}{y}}$ 求导。
令 $$ u = \sqrt{\frac{x}{y}} = \left( \frac{x}{y} \right)^{1/2}, $$ 则 $$ \frac{d}{dx} \arcsin u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx}. $$ 而 $$ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{y} \right)^{-1/2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2y} \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{2\sqrt{xy}}. $$ 因此 $$ \frac{\partial}{\partial x} \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x}{y}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{xy}}. $$ 化简分母： $$ \sqrt{1 - \frac{x}{y}} = \sqrt{\frac{y-x}{y}} = \frac{\sqrt{y-x}}{\sqrt{y}}. $$ 于是 $$ \frac{\partial}{\partial x} \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{xy}} = \frac{1}{2\sqrt{x(y-x)}}. $$ 所以 $$ f_x(x, y) = 1 + (y-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x(y-x)}}. $$
第二步：代入 $y=1$。 注意此时第二项因子 $(y-1)=0$，因此 $$ f_x(x, 1) = 1 + 0 = 1. $$ 这里无需考虑分母是否为零，因为零因子直接消去。
因此最终结果为 $$ \boxed{1}. $$
难度评级：★☆☆☆☆（直接求偏导，代入后零因子消去，计算简单）