📝 题目
6．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\frac{x^{2}+y^{2}}{4} \\ y=4\end{array}\right.$ 在点 $(2,4,5)$ 处的切线对于 $x$ 轴的倾角．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知曲线由方程组 $$ \begin{cases} z = \dfrac{x^{2}+y^{2}}{4},\$$6pt] y = 4 \end{cases} $$ 给出。将 $y = 4$ 代入第一式，得 $$ z = \frac{x^{2}+16}{4} = \frac{x^{2}}{4} + 4. $$ 因此曲线可表示为参数形式：以 $x$ 为参数， $$ \begin{cases} x = x,\\ y = 4,\\ z = \displaystyle\frac{x^{2}}{4} + 4. \end{cases} $$ 求导得切向量： $$ \left(1,\ 0,\ \frac{x}{2}\right). $$ 在点 $(2,4,5)$ 处，$x = 2$，代入得切向量为 $$ \left(1,\ 0,\ 1\right). $$ 切线对于 $x$ 轴的倾角 $\alpha$ 满足 $$ \tan\alpha = \frac{\text{切向量在}z\text{方向的分量}}{\text{切向量在}x\text{方向的分量}} = \frac{1}{1} = 1, $$ 故 $$ \alpha = \frac{\pi}{4}. $$
**难度评级**：★☆☆☆☆