📝 题目
＊9．证明 $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要证明 $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0, $$ 我们使用夹逼准则（或极坐标变换法）。
**方法一：极坐标变换** 令 $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta, $$ 其中 $ r = \sqrt{x^2+y^2} > 0 $，则 $$ \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r} = r\cos\theta\sin\theta. $$ 由于 $|\cos\theta\sin\theta| \le \frac12$，因此 $$ \left| \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \right| = |r\cos\theta\sin\theta| \le \frac{r}{2}. $$ 当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$r\to 0$，所以 $$ 0 \le \left| \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \right| \le \frac{r}{2} \to 0, $$ 由夹逼准则得极限为 0。
**方法二：直接不等式** 注意到 $$ |xy| \le \frac{x^2+y^2}{2}, $$ 因此 $$ \left| \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \right| \le \frac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}. $$ 当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，右边趋于 0，故原极限为 0。
综上， $$ \boxed{\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0}. $$
难度：★☆☆☆☆