📝 题目
＊7．证明下列极限不存在： （1） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x+y}{x-y}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x+y}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos (x+y)}{(x+y) x y}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们逐一证明各极限不存在，方法是选取不同路径趋近于 $(0,0)$ 时，极限值不同或不存在。
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### （1） $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x+y}{x-y} $$
**证明：** 沿路径 $y=0$： $$ \lim_{x\to 0} \frac{x+0}{x-0} = \lim_{x\to 0} 1 = 1 $$ 沿路径 $x=0$： $$ \lim_{y\to 0} \frac{0+y}{0-y} = \lim_{y\to 0} \frac{y}{-y} = -1 $$ 两个路径极限不同，故原极限不存在。
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### （2） $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}} $$
**证明：** 沿路径 $y=x$： $$ \lim_{x\to 0} \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} x^{2} + (x-x)^{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{4}}{x^{4}+0} = 1 $$ 沿路径 $y=0$： $$ \lim_{x\to 0} \frac{x^{2} \cdot 0}{x^{2} \cdot 0 + (x-0)^{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{0}{x^{2}} = 0 $$ 两个路径极限不同，故原极限不存在。
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### （3） $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y}{x+y} $$
**证明：** 沿路径 $y=x$： $$ \lim_{x\to 0} \frac{x \cdot x}{x+x} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{2} = 0 $$ 沿路径 $y = x^{2} - x$（当 $x\to 0$ 时 $y\to 0$）： $$ \frac{x y}{x+y} = \frac{x(x^{2}-x)}{x + (x^{2}-x)} = \frac{x^{3} - x^{2}}{x^{2}} = x - 1 \to -1 $$ 两个路径极限不同，故原极限不存在。
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### （4） $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1-\cos (x+y)}{(x+y) x y} $$
**证明：** 沿路径 $y=x$： 令 $t = x+y = 2x$，则 $$ \frac{1-\cos(2x)}{(2x) \cdot x \cdot x} = \frac{1-\cos(2x)}{2x^{3}} $$ 利用 $1-\cos(2x) \sim \frac{(2x)^{2}}{2} = 2x^{2}$，得 $$ \frac{2x^{2}}{2x^{3}} = \frac{1}{x} \to \infty $$ 沿路径 $y=0$： $$ \frac{1-\cos(x)}{x \cdot x \cdot 0} $$ 分母为零，分子非零，极限为无穷大（不存在有限极限）。 两路径均不趋于同一有限值，故原极限不存在。
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**难度评级：★★☆☆☆** （主要考察多元函数极限不存在的经典路径法，计算较简单，但需注意路径选取技巧）