📝 题目
＊10．设 $F(x, y)=f(x), f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，证明：对任意 $y_{0} \in \mathbb{R}, F(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $F(x, y) = f(x)$，且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。 要证明：对任意 $y_0 \in \mathbb{R}$，$F(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续。
根据二元函数连续的定义，需证明： 对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $\displaystyle{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta}$ 时，有 $\displaystyle{|F(x, y) - F(x_0, y_0)| < \varepsilon}$。
由于 $F(x, y) = f(x)$，且 $F(x_0, y_0) = f(x_0)$，所以 $\displaystyle{|F(x, y) - F(x_0, y_0)| = |f(x) - f(x_0)|}$。
由 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续可知： 对上述 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $\displaystyle{|x - x_0| < \delta_1}$ 时，有 $\displaystyle{|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon}$。
现在取 $\delta = \delta_1$，则当 $\displaystyle{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta}$ 时， 特别地有 $\displaystyle{|x - x_0| \le \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta = \delta_1}$， 从而 $\displaystyle{|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon}$，即 $\displaystyle{|F(x, y) - F(x_0, y_0)| < \varepsilon}$。
因此，$F(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处连续。 由于 $y_0$ 任意，结论成立。
难度：★☆☆☆☆