📝 题目
2．求函数 $z=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)$ 当 $x=1, y=2$ 时的全微分．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要求函数 $ z = \ln(1 + x^2 + y^2) $ 在点 $(1, 2)$ 处的全微分，先计算偏导数。
函数为 $$ z = \ln(1 + x^2 + y^2) $$ 对 $x$ 求偏导： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{1 + x^2 + y^2} $$ 对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{1 + x^2 + y^2} $$
在点 $(x, y) = (1, 2)$ 处： $$ \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)} = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1^2 + 2^2} = \frac{2}{1 + 1 + 4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ $$ \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,2)} = \frac{2 \cdot 2}{1 + 1 + 4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$
全微分公式为 $$ \mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d}y $$ 代入数值： $$ \mathrm{d}z = \frac{1}{3} \mathrm{d}x + \frac{2}{3} \mathrm{d}y $$
因此，函数在点 $(1,2)$ 处的全微分为 $$ \boxed{\dfrac{1}{3}\mathrm{d}x + \dfrac{2}{3}\mathrm{d}y} $$
难度：★☆☆☆☆