📝 题目
12．设有一圆板占有平面闭区域 $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．该圆板被加热，以致在点 $(x, y)$ 的温度是 $T=x^{2}+2 y^{2}-x$ ．求该圆板的最热点和最冷点．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求圆盘区域 $D: x^2 + y^2 \le 1$ 上函数 $$ T(x, y) = x^2 + 2y^2 - x $$ 的最大值和最小值点（即最热点和最冷点）。
**第一步：求内部驻点** 先求梯度： $$ \frac{\partial T}{\partial x} = 2x - 1,\quad \frac{\partial T}{\partial y} = 4y. $$ 令它们为零： $$ 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac12,\quad 4y = 0 \Rightarrow y = 0. $$ 得到内部驻点 $\left(\frac12, 0\right)$，且该点在圆内（因为 $\left(\frac12\right)^2 + 0^2 = 0.25 < 1$）。 该点温度值为： $$ T\left(\frac12, 0\right) = \left(\frac12\right)^2 + 0 - \frac12 = \frac14 - \frac12 = -\frac14. $$
**第二步：边界上的极值（拉格朗日乘数法）** 边界条件：$g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$。 构造拉格朗日函数： $$ L(x,y,\lambda) = x^2 + 2y^2 - x + \lambda (x^2 + y^2 - 1). $$ 求偏导： $$ \frac{\partial L}{\partial x} = 2x - 1 + 2\lambda x = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x(1+\lambda) = 1, $$ $$ \frac{\partial L}{\partial y} = 4y + 2\lambda y = 0 \quad\Rightarrow\quad 2y(2 + \lambda) = 0, $$ $$ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 1 = 0. $$
由第二个方程得： - 若 $y = 0$，则代入边界得 $x^2 = 1$，即 $x = \pm 1$。 - 若 $2 + \lambda = 0$，即 $\lambda = -2$，代入第一个方程： $$ 2x(1 - 2) = 2x(-1) = -2x = 1 \Rightarrow x = -\frac12. $$ 再由边界条件： $$ \left(-\frac12\right)^2 + y^2 = 1 \Rightarrow \frac14 + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = \frac34 \Rightarrow y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}. $$
因此边界上候选点为： $$ (1,0),\quad (-1,0),\quad \left(-\frac12, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),\quad \left(-\frac12, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right). $$
**第三步：计算各点温度值** - $T(1,0) = 1^2 + 0 - 1 = 0$。 - $T(-1,0) = (-1)^2 + 0 - (-1) = 1 + 1 = 2$。 - 对于 $\left(-\frac12, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$： $$ T = \left(-\frac12\right)^2 + 2\left(\frac34\right) - \left(-\frac12\right) = \frac14 + \frac32 + \frac12 = \frac14 + 2 = \frac94 = 2.25. $$
**第四步：比较所有候选值** 内部驻点：$-0.25$ 边界点：$0,\; 2,\; 2.25$
因此： - 最高温度 $2.25$，出现在 $\left(-\frac12, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，为最热点。 - 最低温度 $-0.25$，出现在 $\left(\frac12, 0\right)$，为最冷点。
**最终答案**： 最热点：$\displaystyle \left(-\frac12, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，温度 $\displaystyle \frac94$； 最冷点：$\displaystyle \left(\frac12, 0\right)$，温度 $\displaystyle -\frac14$。
难度：★★☆☆☆