📝 题目
11．抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值。
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求抛物面 $z = x^2 + y^2$ 与平面 $x + y + z = 1$ 的交线（椭圆）上的点到原点距离的极值。 距离平方为 $$ d^2 = x^2 + y^2 + z^2 $$ 约束条件有两个： $$ \begin{cases} z = x^2 + y^2, \\ x + y + z = 1. \end{cases} $$ 我们可以用拉格朗日乘数法，引入两个乘数 $\lambda, \mu$，构造拉格朗日函数： $$ L = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (x^2 + y^2 - z) + \mu (x + y + z - 1). $$ 分别对 $x, y, z$ 求偏导并令其为零：
$$ \frac{\partial L}{\partial x} = 2x + 2\lambda x + \mu = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x(1+\lambda) + \mu = 0 \tag{1} $$ $$ \frac{\partial L}{\partial y} = 2y + 2\lambda y + \mu = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y(1+\lambda) + \mu = 0 \tag{2} $$ $$ \frac{\partial L}{\partial z} = 2z - \lambda + \mu = 0 \quad \Rightarrow \quad 2z - \lambda + \mu = 0 \tag{3} $$ 由(1)(2)相减得： $$ 2(x-y)(1+\lambda) = 0. $$ 有两种情况：
**情况1：** $1+\lambda = 0$，即 $\lambda = -1$。 代入(1)得 $\mu = 0$，再代入(3)： $$ 2z - (-1) + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2z + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad z = -\frac{1}{2}. $$ 但抛物面 $z = x^2 + y^2 \ge 0$，所以 $z = -\frac12$ 不可能。此情况舍去。
**情况2：** $x = y$。 此时由约束条件： $$ z = x^2 + y^2 = 2x^2, $$ 平面方程： $$ x + y + z = 2x + 2x^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad 2x^2 + 2x - 1 = 0. $$ 解得 $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}. $$ 于是两个点： $$ P_1: \left( \frac{-1+\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+\sqrt{3}}{2}, 2\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)^2 \right), $$ $$ P_2: \left( \frac{-1-\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}}{2}, 2\left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right)^2 \right). $$ 计算坐标数值： 对于 $P_1$，$\frac{-1+\sqrt{3}}{2} \approx 0.3660$，平方约为 $0.13397$，所以 $z \approx 0.2679$。 对于 $P_2$，$\frac{-1-\sqrt{3}}{2} \approx -1.3660$，平方约为 $1.8660$，所以 $z \approx 3.732$。
距离平方： $$ d_1^2 = x^2+y^2+z^2 = 2x^2 + z^2 = z + z^2 \quad (\text{因为 } z=2x^2) $$ 对 $P_1$：$z\approx 0.2679$，则 $d_1^2 \approx 0.2679 + 0.0718 = 0.3397$，$d_1 \approx 0.583$。 对 $P_2$：$z\approx 3.732$，则 $d_2^2 \approx 3.732 + 13.928 = 17.66$，$d_2 \approx 4.202$。
因此椭圆上点到原点距离的最小值为 $\sqrt{z+z^2}$ 在较小 $z$ 处取得，最大值为较大 $z$ 处取得。精确表达式：
由 $x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$，则 $$ z = 2x^2 = 2\left( \frac{(-1 \pm \sqrt{3})^2}{4} \right) = \frac{1}{2}(1 \mp 2\sqrt{3} + 3) = \frac{4 \mp 2\sqrt{3}}{2} = 2 \mp \sqrt{3}. $$ 于是 $$ d^2 = z + z^2 = (2 \mp \sqrt{3}) + (2 \mp \sqrt{3})^2. $$ 计算： 对于 $z = 2 - \sqrt{3}$： $$ z^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}, $$ $$ d^2 = (2 - \sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) = 9 - 5\sqrt{3}. $$ 对于 $z = 2 + \sqrt{3}$： $$ z^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}, $$ $$ d^2 = (2 + \sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 9 + 5\sqrt{3}. $$ 因此最短距离为 $\sqrt{9 - 5\sqrt{3}}$，最长距离为 $\sqrt{9 + 5\sqrt{3}}$。
最终答案： $$ \boxed{\sqrt{9 - 5\sqrt{3}} \quad\text{和}\quad \sqrt{9 + 5\sqrt{3}}} $$
难度：★★★☆☆ （需要拉格朗日乘数法处理双约束，并正确分类讨论，计算稍复杂）