📝 题目
7．求出曲线 $x=t, y=t^{2}, z=t^{3}$ 上的点，使在该点的切线平行于平面 $x+2 y+z=4$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求曲线 $$ \begin{cases} x = t, \\ y = t^2, \\ z = t^3 \end{cases} $$ 上某点处的切线平行于平面 $$ x + 2y + z = 4. $$
**第一步：求曲线的切向量** 曲线参数方程为 $\mathbf{r}(t) = (t,\ t^2,\ t^3)$，则切向量为 $$ \mathbf{r}'(t) = (1,\ 2t,\ 3t^2). $$
**第二步：平面的法向量** 平面方程为 $x + 2y + z = 4$，法向量为 $$ \mathbf{n} = (1,\ 2,\ 1). $$
**第三步：切线平行于平面的条件** 切线平行于平面，意味着切向量垂直于平面的法向量，即 $$ \mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{n} = 0. $$ 计算点积： $$ (1,\ 2t,\ 3t^2) \cdot (1,\ 2,\ 1) = 1 + 4t + 3t^2 = 0. $$
**第四步：解方程** 解二次方程 $$ 3t^2 + 4t + 1 = 0, $$ 得 $$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{-4 \pm 2}{6}. $$ 所以 $$ t_1 = -\frac{1}{3},\quad t_2 = -1. $$
**第五步：求对应点坐标** - 当 $t = -\dfrac{1}{3}$： $$ x = -\frac{1}{3},\quad y = \frac{1}{9},\quad z = -\frac{1}{27}. $$ - 当 $t = -1$： $$ x = -1,\quad y = 1,\quad z = -1. $$
因此所求点为 $$ \boxed{\left(-\frac{1}{3},\ \frac{1}{9},\ -\frac{1}{27}\right)} \quad\text{和}\quad \boxed{(-1,\ 1,\ -1)}. $$
难度：★☆☆☆☆