📝 题目
5．求函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{x+y}$ 在点 $(0,0)$ 的 $n$ 阶泰勒公式．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 函数 $f(x,y) = e^{x+y}$ 在点 $(0,0)$ 处的 $n$ 阶泰勒公式，可以利用指数函数的泰勒展开直接得到。
首先，将 $f(x,y)$ 写作： $$ f(x,y) = e^{x+y} = e^{x} e^{y}. $$ 在 $(0,0)$ 处展开，分别对 $e^x$ 和 $e^y$ 使用麦克劳林公式： $$ e^x = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} + R_n(x), \quad e^y = \sum_{l=0}^{n} \frac{y^l}{l!} + R_n(y), $$ 但更直接的做法是考虑二元函数的泰勒展开公式： $$ f(x,y) = \sum_{m=0}^{n} \frac{1}{m!} \left( x\frac{\partial}{\partial x} + y\frac{\partial}{\partial y} \right)^m f(0,0) + R_n. $$
由于 $f(x,y) = e^{x+y}$，所有偏导数在 $(0,0)$ 处均为 1： $$ \frac{\partial^{p+q} f}{\partial x^p \partial y^q}(0,0) = e^{0} = 1. $$ 因此，泰勒公式中 $m$ 次项为： $$ \frac{1}{m!} \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} x^{k} y^{m-k} \cdot 1 = \frac{1}{m!} (x+y)^m. $$
于是，$n$ 阶泰勒公式（带拉格朗日余项）为： $$ f(x,y) = \sum_{m=0}^{n} \frac{(x+y)^m}{m!} + R_n, $$ 其中余项 $$ R_n = \frac{1}{(n+1)!} \left( x\frac{\partial}{\partial x} + y\frac{\partial}{\partial y} \right)^{n+1} f(\theta x, \theta y), \quad 0<\theta<1. $$ 由于 $f$ 的各阶偏导数仍为 $e^{x+y}$，所以 $$ R_n = \frac{e^{\theta(x+y)}}{(n+1)!} (x+y)^{n+1}. $$
因此，函数在 $(0,0)$ 处的 $n$ 阶泰勒公式为： $$ \boxed{e^{x+y} = \sum_{m=0}^{n} \frac{(x+y)^m}{m!} + \frac{e^{\theta(x+y)}}{(n+1)!} (x+y)^{n+1}, \quad 0<\theta<1.} $$
难度：★☆☆☆☆