📝 题目
12．设 $y=f(x, t)$ ，而 $t=t(x, y)$ 是由方程 $F(x, y, t)=0$ 所确定的函数，其中 $f, F$ 都具有一阶连续偏导数．试证明
$$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial t}-\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial t}} $$
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知 $ y = f(x, t) $，且 $ t = t(x, y) $ 由隐式方程 $ F(x, y, t) = 0 $ 确定。 目标是求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$。
**第一步：对 $ y = f(x, t) $ 两边关于 $ x $ 求全导数** 由于 $ t $ 是 $ x $ 和 $ y $ 的函数，而 $ y $ 又是 $ x $ 的函数，所以： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} $$ 记作： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f_x + f_t \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} \quad (1) $$
**第二步：对隐式方程 $ F(x, y, t) = 0 $ 两边关于 $ x $ 求全导数** 注意 $ y = y(x), t = t(x, y(x)) $，因此： $$ \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + \frac{\partial F}{\partial t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} = 0 $$ 即： $$ F_x + F_y \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + F_t \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} = 0 \quad (2) $$
**第三步：从(1)(2)中消去 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$** 由(1)得： $$ \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} = \frac{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} - f_x }{f_t} $$ 代入(2)： $$ F_x + F_y \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + F_t \cdot \frac{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} - f_x }{f_t} = 0 $$
**第四步：整理求解 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$** 将含 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的项合并： $$ F_x - \frac{F_t f_x}{f_t} + \left( F_y + \frac{F_t}{f_t} \right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 $$ 于是： $$ \left( F_y + \frac{F_t}{f_t} \right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{F_t f_x}{f_t} - F_x $$ 两边乘以 $ f_t $： $$ ( f_t F_y + F_t ) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f_x F_t - f_t F_x $$ 因此： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{ f_x F_t - f_t F_x }{ f_t F_y + F_t } $$
这正是要证明的公式。
**难度评级**：★★★☆☆ 涉及多元隐函数与复合函数求导，需要仔细处理链式法则与消元，但思路清晰，计算量适中。