📝 题目
＊9．设 $\mathrm{e}^{z}-x y z=0$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知隐函数方程 $$ \mathrm{e}^{z} - x y z = 0, $$ 其中 $z = z(x,y)$ 由该方程确定。我们要求 $\displaystyle{\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}}$。
**第一步：对 $x$ 求一阶偏导** 将方程两边对 $x$ 求偏导，注意 $y$ 视为常数，$z$ 是 $x,y$ 的函数： $$ \mathrm{e}^{z} \frac{\partial z}{\partial x} - y z - x y \frac{\partial z}{\partial x} = 0. $$ 整理得 $$ (\mathrm{e}^{z} - x y) \frac{\partial z}{\partial x} = y z. $$ 因此 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y z}{\mathrm{e}^{z} - x y}. $$
**第二步：对 $x$ 求二阶偏导** 对 $\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial x}}$ 再对 $x$ 求偏导，使用商法则： 记 $$ u = y z, \quad v = \mathrm{e}^{z} - x y, $$ 则 $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{ u_x v - u v_x }{v^{2}}. $$ 计算 $$ u_x = y \frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{y z}{\mathrm{e}^{z} - x y} = \frac{y^{2} z}{\mathrm{e}^{z} - x y}. $$ $$ v_x = \mathrm{e}^{z} \frac{\partial z}{\partial x} - y = \mathrm{e}^{z} \cdot \frac{y z}{\mathrm{e}^{z} - x y} - y. $$ 代入商法则： 分子为 $$ u_x v - u v_x = \frac{y^{2} z}{\mathrm{e}^{z} - x y} \cdot (\mathrm{e}^{z} - x y) - y z \left( \frac{y z \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y} - y \right). $$ 第一项化简为 $$ y^{2} z. $$ 第二项展开： $$ - y z \cdot \frac{y z \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y} + y z \cdot y = - \frac{y^{2} z^{2} \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y} + y^{2} z. $$ 所以分子为 $$ y^{2} z + y^{2} z - \frac{y^{2} z^{2} \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y} = 2 y^{2} z - \frac{y^{2} z^{2} \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y}. $$ 通分： $$ \frac{2 y^{2} z (\mathrm{e}^{z} - x y) - y^{2} z^{2} \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y} = \frac{y^{2} z \bigl[ 2(\mathrm{e}^{z} - x y) - z \mathrm{e}^{z} \bigr]}{\mathrm{e}^{z} - x y}. $$ 因此 $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{ \displaystyle{\frac{y^{2} z \bigl[ 2(\mathrm{e}^{z} - x y) - z \mathrm{e}^{z} \bigr]}{\mathrm{e}^{z} - x y}} }{ (\mathrm{e}^{z} - x y)^{2} } = \frac{y^{2} z \bigl[ 2(\mathrm{e}^{z} - x y) - z \mathrm{e}^{z} \bigr]}{(\mathrm{e}^{z} - x y)^{3}}. $$
**第三步：利用原方程化简** 由原方程 $\mathrm{e}^{z} = x y z$，代入上式： $$ \mathrm{e}^{z} - x y = x y z - x y = x y (z - 1). $$ 并且 $2(\mathrm{e}^{z} - x y) - z \mathrm{e}^{z} = 2 x y (z-1) - z (x y z) = x y [2(z-1) - z^{2}]$。 于是 $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{y^{2} z \cdot x y [2(z-1) - z^{2}]}{[x y (z-1)]^{3}} = \frac{x y^{3} z (2z - 2 - z^{2})}{x^{3} y^{3} (z-1)^{3}}. $$ 约去 $y^{3}$，并注意 $x$ 约去一个因子： $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{z ( -z^{2} + 2z - 2)}{x^{2} (z-1)^{3}}. $$ 即 $$ \boxed{\displaystyle{\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = -\frac{z(z^{2} - 2z + 2)}{x^{2}(z-1)^{3}}}}. $$
难度：★★★★☆ （涉及隐函数求导、商法则、代入化简，过程较繁琐，需细心处理符号与代数变形）