📝 题目
8．设 $f(x, y, z)=x y^{2}+y z^{2}+z x^{2}$ ，求 $f_{x x}(0,0,1), f_{x z}(1,0,2), f_{y z}(0,-1,0)$ 及 $f_{z x x}(2,0,1)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知函数 $$ f(x, y, z) = x y^{2} + y z^{2} + z x^{2}. $$ 我们依次计算各阶偏导数，再代入指定点。
**第一步：计算 $ f_{xx}(0,0,1) $** 先对 $x$ 求一阶偏导： $$ f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( x y^{2} + y z^{2} + z x^{2} \right) = y^{2} + 2z x. $$ 再对 $x$ 求二阶偏导： $$ f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( y^{2} + 2z x \right) = 2z. $$ 代入点 $(0,0,1)$： $$ f_{xx}(0,0,1) = 2 \cdot 1 = 2. $$
**第二步：计算 $ f_{xz}(1,0,2) $** 由上面已得 $ f_x = y^{2} + 2z x $，再对 $z$ 求偏导： $$ f_{xz} = \frac{\partial}{\partial z} \left( y^{2} + 2z x \right) = 2x. $$ 代入点 $(1,0,2)$： $$ f_{xz}(1,0,2) = 2 \cdot 1 = 2. $$
**第三步：计算 $ f_{yz}(0,-1,0) $** 先对 $y$ 求一阶偏导： $$ f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( x y^{2} + y z^{2} + z x^{2} \right) = 2x y + z^{2}. $$ 再对 $z$ 求偏导： $$ f_{yz} = \frac{\partial}{\partial z} \left( 2x y + z^{2} \right) = 2z. $$ 代入点 $(0,-1,0)$： $$ f_{yz}(0,-1,0) = 2 \cdot 0 = 0. $$
**第四步：计算 $ f_{zxx}(2,0,1) $** 先对 $z$ 求一阶偏导： $$ f_z = \frac{\partial}{\partial z} \left( x y^{2} + y z^{2} + z x^{2} \right) = 2y z + x^{2}. $$ 再对 $x$ 求偏导： $$ f_{zx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( 2y z + x^{2} \right) = 2x. $$ 再对 $x$ 求一次偏导： $$ f_{zxx} = \frac{\partial}{\partial x} (2x) = 2. $$ 该结果与点无关，因此 $$ f_{zxx}(2,0,1) = 2. $$
**最终结果：** $$ \boxed{2},\quad \boxed{2},\quad \boxed{0},\quad \boxed{2}. $$
难度：★☆☆☆☆