📝 题目
2．求下列函数的偏导数： （1）$z=x^{3} y-y^{3} x$ ； （2）$s=\frac{u^{2}+v^{2}}{u v}$ ； （3）$z=\sqrt{\ln (x y)}$ ； （4）$z=\sin (x y)+\cos ^{2}(x y)$ ； （5）$z=\ln \tan \frac{x}{y}$ ； （6）$z=(1+x y)^{y}$ ； （7）$u=x^{\frac{y}{z}}$ ； （8）$u=\arctan (x-y)^{z}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的偏导数求解过程。
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**（1）** $ z = x^{3} y - y^{3} x $
对 $x$ 求偏导（视 $y$ 为常数）： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^{2} y - y^{3} $$ 对 $y$ 求偏导（视 $x$ 为常数）： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = x^{3} - 3y^{2} x $$
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**（2）** $ s = \frac{u^{2}+v^{2}}{u v} $
先化简： $$ s = \frac{u}{v} + \frac{v}{u} $$ 对 $u$ 求偏导： $$ \frac{\partial s}{\partial u} = \frac{1}{v} - \frac{v}{u^{2}} $$ 对 $v$ 求偏导： $$ \frac{\partial s}{\partial v} = -\frac{u}{v^{2}} + \frac{1}{u} $$
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**（3）** $ z = \sqrt{\ln (x y)} $
令 $t = \ln(xy) = \ln x + \ln y$，则 $z = t^{1/2}$。 对 $x$： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{\ln(xy)}} \cdot \frac{1}{x} $$ 对 $y$： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{\ln(xy)}} \cdot \frac{1}{y} $$
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**（4）** $ z = \sin(xy) + \cos^{2}(xy) $
对 $x$： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = y\cos(xy) + 2\cos(xy) \cdot (-\sin(xy)) \cdot y = y\cos(xy) - 2y \cos(xy)\sin(xy) $$ 可简写为： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = y\cos(xy)\big[1 - 2\sin(xy)\big] $$ 对 $y$ 同理： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = x\cos(xy) - 2x \cos(xy)\sin(xy) = x\cos(xy)\big[1 - 2\sin(xy)\big] $$
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**（5）** $ z = \ln \tan \frac{x}{y} $
对 $x$： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\tan\frac{x}{y}} \cdot \sec^{2}\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{y} \cdot \frac{\sec^{2}\frac{x}{y}}{\tan\frac{x}{y}} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{\sin\frac{x}{y}\cos\frac{x}{y}} = \frac{2}{y\sin\frac{2x}{y}} $$ 对 $y$： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\tan\frac{x}{y}} \cdot \sec^{2}\frac{x}{y} \cdot \left(-\frac{x}{y^{2}}\right) = -\frac{x}{y^{2}} \cdot \frac{1}{\sin\frac{x}{y}\cos\frac{x}{y}} = -\frac{2x}{y^{2}\sin\frac{2x}{y}} $$
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**（6）** $ z = (1+xy)^{y} $
取对数：$\ln z = y \ln(1+xy)$。 对 $x$ 求偏导： $$ \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{y}{1+xy} = \frac{y^{2}}{1+xy} \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x} = (1+xy)^{y} \cdot \frac{y^{2}}{1+xy} $$ 对 $y$ 求偏导： $$ \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial y} = \ln(1+xy) + y \cdot \frac{x}{1+xy} $$ 所以 $$ \frac{\partial z}{\partial y} = (1+xy)^{y} \left[ \ln(1+xy) + \frac{xy}{1+xy} \right] $$
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**（7）** $ u = x^{\frac{y}{z}} $
取对数：$\ln u = \frac{y}{z} \ln x$。 对 $x$： $$ \frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y}{z} \cdot \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x} = x^{\frac{y}{z}} \cdot \frac{y}{zx} $$ 对 $y$： $$ \frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\ln x}{z} \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y} = x^{\frac{y}{z}} \cdot \frac{\ln x}{z} $$ 对 $z$： $$ \frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{y}{z^{2}} \ln x \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial z} = -x^{\frac{y}{z}} \cdot \frac{y \ln x}{z^{2}} $$
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**（8）** $ u = \arctan (x-y)^{z} $
令 $t = (x-y)^{z}$，则 $u = \arctan t$。 对 $x$： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{1+(x-y)^{2z}} \cdot z (x-y)^{z-1} $$ 对 $y$： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{1+(x-y)^{2z}} \cdot z (x-y)^{z-1} \cdot (-1) = -\frac{z (x-y)^{z-1}}{1+(x-y)^{2z}} $$ 对 $z$： 先对 $t = (x-y)^{z} = e^{z \ln(x-y)}$ 求导： $$ \frac{\partial t}{\partial z} = (x-y)^{z} \ln(x-y) $$ 所以 $$ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{1+(x-y)^{2z}} \cdot (x-y)^{z} \ln(x-y) $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察基本求导法则与链式法则，无复杂积分或级数，但部分题需取对数处理幂指函数，稍加注意即可。）