同济高数 第1章 第1-1-3题
📝 题目
3．设
$$
\varphi(x)=\left\{\begin{array}{cl}
|\sin x|, & |x|\lt \frac{\pi}{3}, \\
0, & |x| \geqslant \frac{\pi}{3},
\end{array}\right.
$$
求 $\displaystyle \varphi\left(\frac{\pi}{6}\right), \varphi\left(\frac{\pi}{4}\right), \varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right), \varphi(-2)$ ，并作出函数 $y=\varphi(x)$ 的图形．
💡 答案解析
[AI解答]
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第一步：分析函数定义
函数 $\varphi(x)$ 是分段函数：
- 当 $\displaystyle |x| < \frac{\pi}{3}$ 时，$\varphi(x) = |\sin x|$；
- 当 $\displaystyle |x| \ge \frac{\pi}{3}$ 时，$\varphi(x) = 0$。
注意 $\displaystyle \frac{\pi}{3} \approx 1.0472$。
第二步：计算各点的函数值
1. 求 $\displaystyle \varphi\left(\frac{\pi}{6}\right)$
因为 $\displaystyle \left|\frac{\pi}{6}\right| = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236 < \frac{\pi}{3}$，所以
$$
\varphi\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left|\sin\frac{\pi}{6}\right| = \left|\frac12\right| = \frac12.
$$
2. 求 $\displaystyle \varphi\left(\frac{\pi}{4}\right)$
因为 $\displaystyle \left|\frac{\pi}{4}\right| = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854 < \frac{\pi}{3}$，所以
$$
\varphi\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left|\sin\frac{\pi}{4}\right| = \left|\frac{\sqrt{2}}{2}\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}.
$$
3. 求 $\displaystyle \varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
因为 $\displaystyle \left|-\frac{\pi}{4}\right| = \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$，所以
$$
\varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \left|\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right| = \left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}.
$$
4. 求 $\varphi(-2)$
因为 $\displaystyle |-2| = 2 > \frac{\pi}{3}$，所以
$$
\varphi(-2) = 0.
$$
第三步：作函数图形
函数 $y = \varphi(x)$ 的图形描述如下：
- 在区间 $\displaystyle (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$ 内，函数取 $|\sin x|$ 的值，即一个偶函数形状，在 $x=0$ 处为 $0$，在 $\displaystyle x=\pm\frac{\pi}{6}$ 处为 $0.5$，在 $\displaystyle x=\pm\frac{\pi}{4}$ 处为 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.7071$，在端点 $\displaystyle x=\pm\frac{\pi}{3}$ 处，由于 $\displaystyle |\sin(\pm\frac{\pi}{3})| = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.8660$，但注意定义中 $\displaystyle |x|<\frac{\pi}{3}$ 时取该值，端点处属于 $\displaystyle |x|\ge\frac{\pi}{3}$，因此取 $0$，所以图形在端点处跳跃到 $0$。
- 在 $\displaystyle |x| \ge \frac{\pi}{3}$ 的区域，函数值恒为 $0$。
图形大致为：中间一段类似拱形（$|\sin x|$ 的波形但只取中间一段），两边水平线在 $x$ 轴上。
最终答案
$$
\boxed{\frac12},\quad \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}},\quad \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}},\quad \boxed{0}.
$$