同济高数 第1章 第1-1-2题
📝 题目
2．下列各题中，函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是否相同？为什么？
（1）$f(x)=\lg x^{2}, g(x)=2 \lg x$ ；
（2）$f(x)=x, g(x)=\sqrt{x^{2}}$ ；
（3）$f(x)=\sqrt[3]{x^{4}-x^{3}}, g(x)=x \sqrt[3]{x-1}$ ；
（4）$f(x)=1, g(x)=\sec ^{2} x-\tan ^{2} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1） $f(x)=\lg x^{2}, g(x)=2 \lg x$
不相同。
因为 $f(x)=\lg x^{2}$ 的定义域是 $x \neq 0$，而 $g(x)=2\lg x$ 的定义域是 $x>0$，两者定义域不同，所以不是相同函数。
（2） $f(x)=x, g(x)=\sqrt{x^{2}}$
不相同。
因为 $g(x)=\sqrt{x^{2}}=|x|$，而 $f(x)=x$。当 $x<0$ 时，$f(x)\neq g(x)$，即对应法则不同，所以不是相同函数。
（3） $f(x)=\sqrt[3]{x^{4}-x^{3}}, g(x)=x \sqrt[3]{x-1}$
相同。
因为
$$
f(x)=\sqrt[3]{x^{4}-x^{3}}=\sqrt[3]{x^{3}(x-1)}=x\sqrt[3]{x-1}=g(x),
$$
且定义域均为全体实数 $\mathbb{R}$，所以是相同函数。
（4） $f(x)=1, g(x)=\sec ^{2} x-\tan ^{2} x$
不相同。
因为 $g(x)=\sec^{2}x-\tan^{2}x=1$ 在使 $\sec x,\tan x$ 有定义时成立，但 $g(x)$ 的定义域是 $\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$，而 $f(x)=1$ 的定义域是 $\mathbb{R}$，定义域不同，所以不是相同函数。