同济高数 第1章 第1-1-18题

[AI解答]

[AI解答]

已知Rt△ABC中，直角边AC=20，BC=15，则斜边AB由勾股定理：
$$
AB = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25.
$$
三角形周长为：
$$
20 + 15 + 25 = 60.
$$

设P的速度为v，则Q的速度为2v。P移动距离为x时，所用时间t = x / v，此时Q移动距离为 2v·t = 2x。
两动点相遇时，总路程之和等于周长，即：
$$
x + 2x = 60 \quad\Rightarrow\quad 3x = 60 \quad\Rightarrow\quad x = 20.
$$
故x的取值范围为0 ≤ x ≤ 20。

下面按P所在位置分三段讨论。

---

（1）当P在BC上时（0 ≤ x ≤ 15）
此时P在BC上，Q在CA上。
CP = x，CQ = 2x。
由于∠C = 90°，△CPQ为直角三角形，面积为：
$$
y = \frac12 \cdot CP \cdot CQ = \frac12 \cdot x \cdot 2x = x^2.
$$

---

（2）当P在AB上，且Q仍在CA上时（15 < x ≤ ？）
先确定Q离开C到A的距离：CA=20，Q移动距离为2x，当2x ≤ 20即x ≤ 10时Q在CA上。
但此段x > 15，故这种情况不存在，因为x=15时2x=30 > 20，Q已进入AB段。
所以当x > 15时，P和Q都在AB上。

---

（3）当P在AB上，Q也在AB上时（15 < x ≤ 20）
此时P从B出发沿BA向A移动，Q从A出发沿AB向B移动。
记P在BC上移动了15，进入AB后移动距离为 x - 15，故P在AB上距B为 x - 15，则距A为：
$$
AP = 25 - (x - 15) = 40 - x.
$$
Q移动总距离为2x，在CA上移动20到达A，剩余距离 2x - 20 在AB上从A向B移动，故Q距A为 2x - 20，距B为：
$$
QB = 25 - (2x - 20) = 45 - 2x.
$$

P与Q在AB上，线段PQ长度为：
$$
PQ = AB - AP - QB = 25 - (40 - x) - (45 - 2x) = 25 - 40 + x - 45 + 2x = 3x - 60.
$$

△CPQ的面积可看作△ABC面积减去三个小三角形面积。
△ABC面积：
$$
S_{\triangle ABC} = \frac12 \cdot 20 \cdot 15 = 150.
$$
△APQ中，底PQ = 3x - 60，高为C到AB的距离h。
由面积法：
$$
\frac12 \cdot AB \cdot h = 150 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{300}{25} = 12.
$$
所以：
$$
S_{\triangle APQ} = \frac12 \cdot (3x - 60) \cdot 12 = 6(3x - 60) = 18x - 360.
$$

另外两个小三角形：
△CBP：底BP = x - 15，高为BC边上的高？注意这里C到BP的垂线即从C向AB作垂线，但BP在AB上，高同样是h=12，所以：
$$
S_{\triangle CBP} = \frac12 \cdot (x - 15) \cdot 12 = 6(x - 15) = 6x - 90.
$$
△CAQ：底AQ = 2x - 20，高也是12，所以：
$$
S_{\triangle CAQ} = \frac12 \cdot (2x - 20) \cdot 12 = 6(2x - 20) = 12x - 120.
$$

于是：
$$
y = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle APQ} - S_{\triangle CBP} - S_{\triangle CAQ}
= 150 - (18x - 360) - (6x - 90) - (12x - 120).
$$
化简：
$$
y = 150 - 18x + 360 - 6x + 90 - 12x + 120
= (150+360+90+120) - (18x+6x+12x)
= 720 - 36x.
$$

---

综上，函数关系为：
$$
y =
\begin{cases}
x^2, & 0 \le x \le 15, \$$5pt]
720 - 36x, & 15 < x \le 20.
\end{cases}
$$