同济高数 第1章 第1-10-*9题

[AI解答]

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要判断区间 $(a, b)$ 内的连续函数 $f(x)$ 是否为一致连续，关键在于函数在区间端点附近的行为。由于区间是开区间，函数可能在端点处无定义或趋于无穷，从而破坏一致连续性。

定理（一致连续的充要条件）：
设 $f(x)$ 在有限开区间 $(a, b)$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续的充要条件是：
极限 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ 和 $\lim_{x \to b^-} f(x)$ 都存在且有限。

证明思路：

1. 必要性：
若 $f$ 在 $(a, b)$ 上一致连续，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - y| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$。
取数列 $\{x_n\} \subset (a, b)$ 且 $x_n \to a^+$，则 $\{x_n\}$ 是柯西列，由一致连续性可知 $\{f(x_n)\}$ 也是柯西列，从而收敛。由海涅定理，极限 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ 存在且有限。同理可证右端点。

2. 充分性：
若两个单侧极限存在且有限，则可定义
$$
F(x) =
\begin{cases}
\lim_{t \to a^+} f(t), & x = a, \\
f(x), & a < x < b, \\
\lim_{t \to b^-} f(t), & x = b.
\end{cases}
$$
则 $F(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，由康托尔定理，$F$ 在 $[a, b]$ 上一致连续，从而 $f$ 在 $(a, b)$ 上一致连续。

结论：
$(a, b)$ 内的连续函数 $f(x)$ 为一致连续的充要条件是：
$$
\lim_{x \to a^+} f(x) \quad \text{和} \quad \lim_{x \to b^-} f(x)
$$
都存在且为有限实数。