同济高数 第1章 第1-3-*11题
📝 题目
＊11．根据函数极限的定义证明：函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_{0}$ 时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在并且相等。
💡 答案解析
[AI解答]
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题目：根据函数极限的定义证明：函数 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $ 时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在并且相等。
证明：
我们设 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 的某个去心邻域内有定义。
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必要性（若极限存在，则左右极限存在且相等）
假设
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = A
$$
根据函数极限的 $\varepsilon-\delta$ 定义：
对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有
$$
|f(x) - A| < \varepsilon
$$
此时，若 $x$ 从左侧趋近于 $x_0$，即 $x_0 - \delta < x < x_0$，则显然也满足 $0 < |x - x_0| < \delta$，因此
$$
|f(x) - A| < \varepsilon
$$
这说明
$$
\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A
$$
同理，对于右侧 $x_0 < x < x_0 + \delta$，同样有 $|f(x)-A|<\varepsilon$，因此
$$
\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A
$$
必要性得证。
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充分性（若左右极限存在且相等，则极限存在）
设
$$
\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A
$$
由左极限定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $x_0 - \delta_1 < x < x_0$ 时，有
$$
|f(x) - A| < \varepsilon
$$
由右极限定义：对同样的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $x_0 < x < x_0 + \delta_2$ 时，有
$$
|f(x) - A| < \varepsilon
$$
取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2) > 0$，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$x$ 要么落在左侧邻域，要么落在右侧邻域，无论哪种情况都有
$$
|f(x) - A| < \varepsilon
$$
因此
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = A
$$
充分性得证。
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综上，函数 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $ 时极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。证毕。