同济高数 第1章 第1-3-4题
📝 题目
4．求 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x}, \varphi(x)=\frac{|x|}{x}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时的左、右极限，并说明它们在 $x \rightarrow 0$ 时的极限是否存在．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先分析函数 $ f(x) = \frac{x}{x} $。
对于任意 $ x \neq 0 $，显然有
$$
f(x) = \frac{x}{x} = 1.
$$
因此，当 $ x \to 0 $ 时，无论是从左侧还是右侧趋近，函数值恒为 1。
左极限：
$$
\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1,
$$
右极限：
$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1.
$$
由于左右极限相等且为 1，所以
$$
\lim_{x \to 0} f(x) = 1,
$$
极限存在。
---
再分析函数 $ \varphi(x) = \frac{|x|}{x} $。
当 $ x > 0 $ 时，$ |x| = x $，所以
$$
\varphi(x) = \frac{x}{x} = 1.
$$
当 $ x < 0 $ 时，$ |x| = -x $，所以
$$
\varphi(x) = \frac{-x}{x} = -1.
$$
因此，右极限（从正侧趋近 0）：
$$
\lim_{x \to 0^+} \varphi(x) = 1,
$$
左极限（从负侧趋近 0）：
$$
\lim_{x \to 0^-} \varphi(x) = -1.
$$
由于左右极限不相等，故
$$
\lim_{x \to 0} \varphi(x)
$$
不存在。
---
结论：
- $ f(x) = \frac{x}{x} $ 在 $ x \to 0 $ 时极限存在，为 1。
- $ \varphi(x) = \frac{|x|}{x} $ 在 $ x \to 0 $ 时极限不存在。