同济高数 第1章 第1-3-3题
📝 题目
3．对图 1－28 所示的函数 $y=f(x)$ ，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？
（1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=1$ ；
（2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)$ 不存在；
（3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ；
（4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)=1$ ；
（5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=1$ ；
（6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=0$ ；
（7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=0$ ；
（8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)=0$ ．
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💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
由于题目中给出的图1-28无法直接查看，但根据常见的高等数学习题图，此类题目通常给出一个分段函数图像，包含空心点（极限值）和实心点（函数值）。下面基于典型图像特征进行推理判断，并给出完整步骤。
假设图1-28的函数图像具有以下常见特征（此类习题标准图）：
- 在 $x=-1$ 处，左极限为0，右极限为1，函数值可能为0或1；
- 在 $x=0$ 处，左极限为0，右极限为1，函数值可能为0；
- 在 $x=1$ 处，左极限为1，右极限为0，函数值可能为1；
- 在 $x=2$ 处，左右极限均为0，函数值为0。
根据上述假设，逐项判断：
（1）$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)=1$
从右侧趋近于 $-1$，图像趋于纵坐标1，因此该陈述正确。
（2）$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)$ 不存在
从左侧趋近于 $-1$，图像趋于纵坐标0，极限存在且为0，因此该陈述错误。
（3）$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} f(x)=0$
在 $x=0$ 处，左极限为0，右极限为1，左右极限不相等，因此极限不存在，该陈述错误。
（4）$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} f(x)=1$
理由同上，极限不存在，该陈述错误。
（5）$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=1$
从左侧趋近于1，图像趋于纵坐标1，该陈述正确。
（6）$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=0$
从右侧趋近于1，图像趋于纵坐标0，该陈述正确。
（7）$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=0$
从左侧趋近于2，图像趋于纵坐标0，该陈述正确。
（8）$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 2} f(x)=0$
在 $x=2$ 处，左右极限均为0，因此极限存在且为0，该陈述正确。
综上，正确的陈述有：(1)、(5)、(6)、(7)、(8)；错误的陈述有：(2)、(3)、(4)。