同济高数 第1章 第1-4-8题
📝 题目
8．求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{4}{2-x^{2}}$ 的图形的渐近线．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们求函数
$$
f(x)=\frac{4}{2-x^{2}}
$$
的渐近线。
第一步：确定定义域
分母为零时：
$$
2-x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}
$$
因此定义域为 $(-\infty,-\sqrt{2})\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$。
第二步：求垂直渐近线
当 $x\to\sqrt{2}^{-}$ 时，分母 $2-x^{2}\to 0^{+}$，分子为 4，故
$$
\lim_{x\to\sqrt{2}^{-}} f(x)=+\infty
$$
当 $x\to\sqrt{2}^{+}$ 时，分母 $2-x^{2}\to 0^{-}$，故
$$
\lim_{x\to\sqrt{2}^{+}} f(x)=-\infty
$$
同理，当 $x\to -\sqrt{2}^{-}$ 时，$2-x^{2}\to 0^{-}$，故
$$
\lim_{x\to -\sqrt{2}^{-}} f(x)=-\infty
$$
当 $x\to -\sqrt{2}^{+}$ 时，$2-x^{2}\to 0^{+}$，故
$$
\lim_{x\to -\sqrt{2}^{+}} f(x)=+\infty
$$
因此有两条垂直渐近线：
$$
x=\sqrt{2},\quad x=-\sqrt{2}
$$
第三步：求水平渐近线
考虑 $x\to +\infty$：
$$
\lim_{x\to +\infty} \frac{4}{2-x^{2}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{4}{-x^{2}\left(1-\frac{2}{x^{2}}\right)} = 0
$$
同理 $x\to -\infty$：
$$
\lim_{x\to -\infty} \frac{4}{2-x^{2}} = 0
$$
因此有一条水平渐近线：
$$
y=0
$$
第四步：判断斜渐近线
由于存在水平渐近线 $y=0$，且函数在无穷远处趋于 0，故不存在斜渐近线。
结论
渐近线为：
$$
\boxed{x=\sqrt{2},\quad x=-\sqrt{2},\quad y=0}
$$
难度：★☆☆☆☆