同济高数 第1章 第1-7-4题
📝 题目
4．证明：当 $x \rightarrow 0$ 时，有
（1） $\arctan x \sim x$ ；
（2） $\displaystyle \sec x-1 \sim \frac{x^{2}}{2}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）证明 $\arctan x \sim x$（当 $x \to 0$）**
要证明等价无穷小，即证明
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1.
$$
考虑使用洛必达法则（或重要极限）。由于当 $x \to 0$ 时分子分母都趋于 $0$，且导数存在，故
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}
= \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle\frac{1}{1+x^2}}{1}
= \frac{1}{1+0} = 1.
$$
因此 $\arctan x \sim x$，证毕。
**（2）证明 $\displaystyle \sec x - 1 \sim \frac{x^2}{2}$（当 $x \to 0$）**
要证明
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sec x - 1}{x^2/2} = 1.
$$
首先 $\displaystyle \sec x = \frac{1}{\cos x}$，所以
$$
\sec x - 1 = \frac{1 - \cos x}{\cos x}.
$$
已知当 $x \to 0$ 时，$\displaystyle 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，且 $\cos x \to 1$，因此
$$
\frac{1 - \cos x}{\cos x} \sim \frac{x^2/2}{1} = \frac{x^2}{2}.
$$
更严格地，用极限验证：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sec x - 1}{x^2/2}
= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\cos x \cdot \frac{x^2}{2}}
= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2/2} \cdot \frac{1}{\cos x}.
$$
由重要极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2/2} = 1$，且 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1$，故乘积极限为 $1$。
因此 $\displaystyle \sec x - 1 \sim \frac{x^2}{2}$，证毕。
难度：★☆☆☆☆