同济高数 第1章 第1-8-3题
📝 题目
3．下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类．如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：
（1）$\displaystyle y=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-3 x+2}, x=1, x=2$ ；
（2）$\displaystyle y=\frac{x}{\tan x}, x=k \pi, x=k \pi+\frac{\pi}{2} \quad(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ ；
（3）$\displaystyle y=\cos ^{2} \frac{1}{x}, x=0$ ；
（4）$y=\left\{\begin{array}{ll}x-1, & x \leqslant 1, \\ 3-x, & x\gt 1,\end{array} \quad x=1\right.$.
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们逐小题分析间断点类型，并处理可去间断点的连续延拓。
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（1）
函数：
$$
y=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-3x+2},\quad x=1,\; x=2
$$
先分解因式：
$$
x^{2}-1=(x-1)(x+1),\quad x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)
$$
因此
$$
y=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+1}{x-2},\quad x\neq 1
$$
- 在 $x=1$：
原函数无定义，但
$$
\lim_{x\to 1}y=\lim_{x\to 1}\frac{x+1}{x-2}=\frac{2}{-1}=-2
$$
极限存在，故 $x=1$ 为可去间断点。
补充定义：令 $y(1)=-2$，则函数在 $x=1$ 连续。
- 在 $x=2$：
$$
\lim_{x\to 2^-}y=\frac{3}{0^-}=-\infty,\quad \lim_{x\to 2^+}y=\frac{3}{0^+}=+\infty
$$
左右极限均为无穷，故为第二类（无穷）间断点。
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（2）
函数：
$$
y=\frac{x}{\tan x},\quad x=k\pi,\; x=k\pi+\frac{\pi}{2}\;(k\in\mathbb{Z})
$$
- 当 $x=k\pi$：
$\tan(k\pi)=0$，分子 $k\pi\neq 0$（除 $k=0$ 外），极限为无穷，故为第二类（无穷）间断点。
当 $k=0$ 时，$x=0$：
$$
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\tan x}=1
$$
极限存在，故 $x=0$ 为可去间断点。
补充定义：令 $y(0)=1$，则连续。
- 当 $x=k\pi+\frac{\pi}{2}$：
此时 $\tan x$ 无定义（趋于无穷），但 $\frac{x}{\tan x}\to 0$，极限为 0，故为可去间断点。
补充定义：令 $y\left(k\pi+\frac{\pi}{2}\right)=0$，则连续。
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（3）
函数：
$$
y=\cos^{2}\frac{1}{x},\quad x=0
$$
当 $x\to 0$，$\frac{1}{x}\to\infty$，$\cos^{2}\frac{1}{x}$ 在 0 与 1 之间振荡，极限不存在，故为第二类（振荡）间断点。
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（4）
函数：
$$
y=
\begin{cases}
x-1, & x\leqslant 1,\\
3-x, & x>1,
\end{cases}
\quad x=1
$$
计算左右极限：
$$
\lim_{x\to 1^-}y=1-1=0,\quad \lim_{x\to 1^+}y=3-1=2
$$
左右极限存在但不相等，故为第一类（跳跃）间断点。
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最终答案：
（1）$x=1$ 可去，补充 $y(1)=-2$；$x=2$ 第二类（无穷）。
（2）$x=0$ 可去，补充 $y(0)=1$；$x=k\pi\;(k\neq0)$ 第二类（无穷）；$x=k\pi+\frac{\pi}{2}$ 可去，补充值为 0。
（3）$x=0$ 第二类（振荡）。
（4）$x=1$ 第一类（跳跃）。
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难度：★★☆☆☆