同济高数 第2章 第2-1-3题
📝 题目
3．设某工厂生产 $x$ 件产品的成本为
$$
C(x)=2000+100 x-0.1 x^{2}(\text { 元 }),
$$
这函数 $C(x)$ 称为成本函数，成本函数 $C(x)$ 的导数 $C^{\prime}(x)$ 在经济学中称为边际成本．试求
（1）当生产 100 件产品时的边际成本；
（2）生产第 101 件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）求边际成本
已知成本函数为
$$
C(x)=2000+100x-0.1x^{2}
$$
边际成本定义为
$$
C'(x)=\displaystyle{}\frac{d}{dx}\left(2000+100x-0.1x^{2}\right)
$$
逐项求导：
- 常数项导数为 $0$；
- $100x$ 导数为 $100$；
- $-0.1x^{2}$ 导数为 $-0.2x$。
因此
$$
C'(x)=100-0.2x
$$
当 $x=100$ 时，
$$
C'(100)=100-0.2\times100=100-20=80\ (\text{元})
$$
所以生产 100 件产品时的边际成本为 80 元。
（2）生产第 101 件产品的成本并与边际成本比较
生产第 101 件产品的成本，即
$$
C(101)-C(100)
$$
先计算：
$$
C(100)=2000+100\times100-0.1\times100^{2}=2000+10000-1000=11000
$$
$$
C(101)=2000+10100-0.1\times10201=2000+10100-1020.1=11079.9
$$
因此
$$
C(101)-C(100)=11079.9-11000=79.9\ (\text{元})
$$
比较与说明
边际成本 $C'(100)=80$ 元，而实际生产第 101 件的成本为 $79.9$ 元，两者非常接近。
这说明 **边际成本 $C'(x)$ 近似表示生产第 $x+1$ 件产品所增加的成本**，在经济学中用于衡量增加一单位产量时总成本的增量，是决策产量的重要参考指标。
难度：★☆☆☆☆