同济高数 第2章 第2-1-5题

[AI解答]

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我们需要利用导数的定义来证明 $(\cos x)' = -\sin x$。

由导数的定义：
$$
(\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}.
$$

利用三角恒等式：
$$
\cos(x+h) - \cos x = -2\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right).
$$

因此：
$$
(\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{-2\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h}.
$$

将分母 $h$ 改写为 $\displaystyle 2 \cdot \frac{h}{2}$：
$$
(\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{-2\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{2 \cdot \frac{h}{2}}
= \lim_{h \to 0} \left[ -\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \right].
$$

当 $h \to 0$ 时，$\displaystyle \frac{h}{2} \to 0$，利用重要极限 $\displaystyle{\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1}$，可得：
$$
\lim_{h \to 0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = 1.
$$

同时，$\displaystyle{\lim_{h \to 0} \sin\left(x + \frac{h}{2}\right) = \sin x}$。

因此：
$$
(\cos x)' = -\sin x \cdot 1 = -\sin x.
$$

证毕。

难度：★★☆☆☆