同济高数 第2章 第2-3-8题
📝 题目
8．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x} \cos x, & x \leqslant 0, \\ a x^{2}+b x+c, & x\gt 0,\end{array}\right.$ 试选择常数 $a, b, c$ ，使 $f(x)$ 具有二阶导数．
💡 答案解析
[AI解答]
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要使 $ f(x) $ 具有二阶导数，首先需要 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处连续，其次一阶导数存在且连续，最后二阶导数存在且连续。因此我们分别从连续性、一阶导数连续性、二阶导数连续性入手。
第一步：连续性条件
由 $ x \leq 0 $ 时 $ f(x) = e^x \cos x $，得
$$
f(0) = e^0 \cos 0 = 1.
$$
由 $ x > 0 $ 时 $ f(x) = a x^2 + b x + c $，得
$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = c.
$$
连续性要求
$$
c = 1.
$$
第二步：一阶导数存在且连续
当 $ x < 0 $ 时，
$$
f'(x) = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x (\cos x - \sin x).
$$
于是
$$
f'(0^-) = e^0 (\cos 0 - \sin 0) = 1.
$$
当 $ x > 0 $ 时，
$$
f'(x) = 2a x + b,
$$
所以
$$
f'(0^+) = b.
$$
一阶导数在 $ x=0 $ 处存在要求左右导数相等：
$$
b = 1.
$$
第三步：二阶导数存在且连续
对 $ x < 0 $，
$$
f''(x) = e^x (\cos x - \sin x) + e^x (-\sin x - \cos x) = -2 e^x \sin x.
$$
于是
$$
f''(0^-) = -2 e^0 \sin 0 = 0.
$$
对 $ x > 0 $，
$$
f''(x) = 2a,
$$
所以
$$
f''(0^+) = 2a.
$$
二阶导数在 $ x=0 $ 处存在要求
$$
2a = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 0.
$$
第四步：结论
综上，我们得到
$$
a = 0,\quad b = 1,\quad c = 1.
$$
此时
$$
f(x) =
\begin{cases}
e^x \cos x, & x \leq 0,\\
x + 1, & x > 0,
\end{cases}
$$
经验证，该函数在 $ x=0 $ 处具有二阶导数。
难度：★★☆☆☆