同济高数 第2章 第2-3-9题

[AI解答]

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（1）已知 $ y = e^{x} \cos x $，求 $ y^{(4)} $。

将函数视为指数函数与三角函数的乘积，可利用莱布尼茨公式或直接逐次求导。
先求一阶导数：
$$
y' = e^{x} \cos x + e^{x}(-\sin x) = e^{x}(\cos x - \sin x)
$$
二阶导数：
$$
y'' = e^{x}(\cos x - \sin x) + e^{x}(-\sin x - \cos x) = e^{x}(-2\sin x)
$$
三阶导数：
$$
y''' = e^{x}(-2\sin x) + e^{x}(-2\cos x) = -2e^{x}(\sin x + \cos x)
$$
四阶导数：
$$
y^{(4)} = -2e^{x}(\sin x + \cos x) - 2e^{x}(\cos x - \sin x) = -2e^{x}(2\cos x) = -4e^{x}\cos x
$$
因此
$$
\boxed{y^{(4)} = -4e^{x}\cos x}
$$

（2）已知 $ y = x^{2} \sin 2x $，求 $ y^{(50)} $。

使用莱布尼茨公式：
$$
(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}
$$
令 $ u = x^{2} $，$ v = \sin 2x $。
对于 $ u = x^{2} $，有
$$
u' = 2x,\quad u'' = 2,\quad u^{(k)} = 0 \ (k \ge 3)
$$
对于 $ v = \sin 2x $，其高阶导数为
$$
v^{(m)} = 2^{m} \sin\!\left(2x + \frac{m\pi}{2}\right)
$$
因此当 $ n = 50 $ 时，只有 $ k = 0,1,2 $ 项非零：

- $ k = 0 $：
$$
\binom{50}{0} u v^{(50)} = 1 \cdot x^{2} \cdot 2^{50} \sin\!\left(2x + 25\pi\right)
$$
由于 $\sin(\theta + 25\pi) = \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$，此项为
$$
x^{2} \cdot 2^{50} \cdot (-\sin 2x) = -2^{50} x^{2} \sin 2x
$$

- $ k = 1 $：
$$
\binom{50}{1} u' v^{(49)} = 50 \cdot 2x \cdot 2^{49} \sin\!\left(2x + \frac{49\pi}{2}\right)
$$
注意 $\frac{49\pi}{2} = 24\pi + \frac{\pi}{2}$，所以
$$
\sin\!\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2x
$$
此项为
$$
50 \cdot 2x \cdot 2^{49} \cos 2x = 50x \cdot 2^{50} \cos 2x
$$

- $ k = 2 $：
$$
\binom{50}{2} u'' v^{(48)} = \frac{50 \cdot 49}{2} \cdot 2 \cdot 2^{48} \sin\!\left(2x + 24\pi\right)
$$
$\sin(2x + 24\pi) = \sin 2x$，此项为
$$
1225 \cdot 2 \cdot 2^{48} \sin 2x = 2450 \cdot 2^{48} \sin 2x
$$
而 $ 2450 \cdot 2^{48} = 1225 \cdot 2^{49} $。

合并三项：
$$
y^{(50)} = -2^{50} x^{2} \sin 2x + 50x \cdot 2^{50} \cos 2x + 1225 \cdot 2^{49} \sin 2x
$$
可提取公因式 $ 2^{49} $：
$$
\boxed{y^{(50)} = 2^{49}\left[ -2x^{2}\sin 2x + 100x\cos 2x + 1225\sin 2x \right]}
$$

难度评级：★★★☆☆
（涉及莱布尼茨公式与三角函数高阶导数的周期性，计算量中等，但思路清晰。）