同济高数 第2章 第2-3-*10题
📝 题目
＊10．求下列函数的 $n$ 阶导数的一般表达式：
（1）$y=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n} \quad\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right.$ 都是常数）；
（2）$y=\sin ^{2} x$ ；
（3）$y=x \ln x$ ；
（4）$y=x e^{x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）
已知
$$
y = x^{n} + a_{1} x^{n-1} + a_{2} x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_{n}
$$
这是一个 $n$ 次多项式。求 $n$ 阶导数时，对于次数低于 $n$ 的项，求导 $n$ 次后结果为 $0$；对于 $x^n$ 项，有
$$
\frac{d^{n}}{dx^{n}} x^{n} = n!
$$
因此
$$
y^{(n)} = n!
$$
对于 $k > n$ 的阶数，$y^{(k)} = 0$。
（2）
已知
$$
y = \sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
$$
则
$$
y' = \frac{1}{2} \cdot (2\sin 2x) = \sin 2x
$$
更直接地，利用公式：
$$
\sin^{2} x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x
$$
求 $n$ 阶导数时，常数项导数为 $0$，而
$$
\frac{d^{n}}{dx^{n}} \cos 2x = 2^{n} \cos\!\left(2x + \frac{n\pi}{2}\right)
$$
因此
$$
y^{(n)} = -\frac{1}{2} \cdot 2^{n} \cos\!\left(2x + \frac{n\pi}{2}\right)
= -2^{n-1} \cos\!\left(2x + \frac{n\pi}{2}\right)
$$
也可写成
$$
y^{(n)} = 2^{n-1} \sin\!\left(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}\right)
$$
两者等价。
（3）
已知
$$
y = x \ln x
$$
先求一阶导：
$$
y' = \ln x + 1
$$
二阶导：
$$
y'' = \frac{1}{x}
$$
三阶导：
$$
y''' = -\frac{1}{x^{2}}
$$
四阶导：
$$
y^{(4)} = \frac{2}{x^{3}}
$$
归纳可得，当 $n \ge 2$ 时，
$$
y^{(n)} = (-1)^{n} \frac{(n-2)!}{x^{n-1}}
$$
对于 $n=1$，单独写为 $y' = \ln x + 1$。
（4）
已知
$$
y = x e^{x}
$$
利用莱布尼茨公式：
$$
(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}
$$
取 $u = x$，$v = e^{x}$，则
$$
u' = 1,\quad u'' = 0,\quad \dots
$$
而 $v^{(m)} = e^{x}$ 对所有 $m$ 成立。
于是
$$
y^{(n)} = \binom{n}{0} x e^{x} + \binom{n}{1} \cdot 1 \cdot e^{x}
= x e^{x} + n e^{x}
= e^{x}(x + n)
$$
最终答案：
（1）$y^{(n)} = n!$，更高阶为 $0$
（2）$y^{(n)} = -2^{n-1} \cos\!\left(2x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$
（3）$y^{(n)} = \begin{cases} \ln x + 1, & n=1 \\ (-1)^{n} \dfrac{(n-2)!}{x^{n-1}}, & n \ge 2 \end{cases}$
（4）$y^{(n)} = e^{x}(x + n)$
难度：★★☆☆☆