同济高数 第2章 第2-4-12题
📝 题目
12．注水人深 8 m 、上顶直径 8 m 的正圆锥形容器中，其速率为 $4 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ ．当水深为 5 m 时，其表面上升的速率为多少？
💡 答案解析
[AI解答]
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我们考虑一个正圆锥形容器，顶点在下，开口向上。已知：
- 容器深度（高）为 $H = 8\,\mathrm{m}$
- 上顶直径 $D = 8\,\mathrm{m}$，因此上顶半径 $R = 4\,\mathrm{m}$
- 注水速率 $\displaystyle{\frac{dV}{dt} = 4\,\mathrm{m^3/min}}$
- 求水深 $h = 5\,\mathrm{m}$ 时，水面上升速率 $\displaystyle{\frac{dh}{dt}}$。
第一步：建立几何关系
圆锥的半径与高度成正比。因为容器总高 8 m，顶部半径 4 m，所以在水深为 $h$ 时，水面半径 $r$ 满足
$$
\frac{r}{h} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
$$
即
$$
r = \frac{h}{2}
$$
第二步：写出水的体积公式
水深为 $h$ 时，水的体积为
$$
V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{h^2}{4} \cdot h = \frac{\pi}{12} h^3
$$
第三步：对时间求导
两边对时间 $t$ 求导：
$$
\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} \cdot 3h^2 \cdot \frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{4} h^2 \frac{dh}{dt}
$$
第四步：代入已知条件
已知 $\displaystyle{\frac{dV}{dt} = 4}$，且 $h = 5$，代入得
$$
4 = \frac{\pi}{4} \cdot (5)^2 \cdot \frac{dh}{dt}
$$
$$
4 = \frac{\pi}{4} \cdot 25 \cdot \frac{dh}{dt}
$$
$$
4 = \frac{25\pi}{4} \cdot \frac{dh}{dt}
$$
因此
$$
\frac{dh}{dt} = \frac{4 \cdot 4}{25\pi} = \frac{16}{25\pi}
$$
第五步：结果
水面上升速率为
$$
\boxed{\frac{16}{25\pi}\,\mathrm{m/min}}
$$
难度：★★☆☆☆
（只需利用相似三角形和链式法则，计算简单，但需注意几何关系推导）