同济高数 第2章 第2-4-6题

[AI解答]

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习题2-4 第6题
求下列参数方程所确定的函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$。

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（1）
参数方程为
$$
\begin{cases}
x = a t^{2}, \\
y = b t^{3}.
\end{cases}
$$

步骤：
由参数方程求导公式
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{\displaystyle{}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\displaystyle{}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}.
$$

先分别求导：
$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 2a t, \quad
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = 3b t^{2}.
$$

于是
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{3b t^{2}}{2a t} = \frac{3b}{2a} t.
$$

因此
$$
\boxed{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{3b}{2a} t}.
$$

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（2）
参数方程为
$$
\begin{cases}
x = \theta (1 - \sin \theta), \\
y = \theta \cos \theta.
\end{cases}
$$

步骤：
同样使用公式
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{\displaystyle{}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} \theta}}{\displaystyle{}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \theta}}.
$$

先求 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \theta}$：
$$
x = \theta - \theta \sin \theta,
$$
$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \theta} = 1 - (\sin \theta + \theta \cos \theta) = 1 - \sin \theta - \theta \cos \theta.
$$

再求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} \theta}$：
$$
y = \theta \cos \theta,
$$
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} \theta} = \cos \theta - \theta \sin \theta.
$$

因此
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\cos \theta - \theta \sin \theta}{1 - \sin \theta - \theta \cos \theta}.
$$

最终结果为
$$
\boxed{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\cos \theta - \theta \sin \theta}{1 - \sin \theta - \theta \cos \theta}}.
$$

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难度评级： ★☆☆☆☆