同济高数 第2章 第2-4-5题

[AI解答]

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我们使用对数求导法，即先取自然对数，再对两边求导，最后解出导数。

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（1）$\displaystyle y=\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}$

取自然对数：
$$
\ln y = x \ln\left(\frac{x}{1+x}\right) = x \left[\ln x - \ln(1+x)\right]
$$

两边对$x$求导：
$$
\frac{y'}{y} = \ln\left(\frac{x}{1+x}\right) + x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} \right)
$$
化简括号内：
$$
\frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} = \frac{1}{x(1+x)}
$$
所以：
$$
\frac{y'}{y} = \ln\frac{x}{1+x} + \frac{1}{1+x}
$$

因此：
$$
y' = y \left( \ln\frac{x}{1+x} + \frac{1}{1+x} \right)
= \left(\frac{x}{1+x}\right)^{x} \left( \ln\frac{x}{1+x} + \frac{1}{1+x} \right)
$$

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（2）$\displaystyle y=\sqrt[5]{\frac{x-5}{\sqrt[5]{x^{2}+2}}}$

先改写为指数形式：
$$
y = \left( \frac{x-5}{(x^{2}+2)^{1/5}} \right)^{1/5}
= \frac{(x-5)^{1/5}}{(x^{2}+2)^{1/25}}
$$

取对数：
$$
\ln y = \frac{1}{5}\ln(x-5) - \frac{1}{25}\ln(x^{2}+2)
$$

求导：
$$
\frac{y'}{y} = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-5} - \frac{1}{25}\cdot\frac{2x}{x^{2}+2}
$$

所以：
$$
y' = y \left( \frac{1}{5(x-5)} - \frac{2x}{25(x^{2}+2)} \right)
= \sqrt[5]{\frac{x-5}{\sqrt[5]{x^{2}+2}}} \left( \frac{1}{5(x-5)} - \frac{2x}{25(x^{2}+2)} \right)
$$

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（3）$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x+2}(3-x)^{4}}{(x+1)^{5}}$

取对数：
$$
\ln y = \frac{1}{2}\ln(x+2) + 4\ln(3-x) - 5\ln(x+1)
$$

求导：
$$
\frac{y'}{y} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+2} + 4\cdot\frac{-1}{3-x} - 5\cdot\frac{1}{x+1}
$$
注意 $\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(3-x) = \frac{-1}{3-x}$。

所以：
$$
\frac{y'}{y} = \frac{1}{2(x+2)} - \frac{4}{3-x} - \frac{5}{x+1}
$$

因此：
$$
y' = \frac{\sqrt{x+2}(3-x)^{4}}{(x+1)^{5}} \left( \frac{1}{2(x+2)} - \frac{4}{3-x} - \frac{5}{x+1} \right)
$$

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（4）$y=\sqrt{x \sin x \sqrt{1-\mathrm{e}^{x}}}$

先改写为指数形式：
$$
y = \left( x \sin x \cdot (1-e^{x})^{1/2} \right)^{1/2}
= x^{1/2} (\sin x)^{1/2} (1-e^{x})^{1/4}
$$

取对数：
$$
\ln y = \frac{1}{2}\ln x + \frac{1}{2}\ln(\sin x) + \frac{1}{4}\ln(1-e^{x})
$$

求导：
$$
\frac{y'}{y} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\cdot\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{4}\cdot\frac{-e^{x}}{1-e^{x}}
$$

所以：
$$
\frac{y'}{y} = \frac{1}{2x} + \frac{\cot x}{2} - \frac{e^{x}}{4(1-e^{x})}
$$

因此：
$$
y' = \sqrt{x \sin x \sqrt{1-e^{x}}} \left( \frac{1}{2x} + \frac{\cot x}{2} - \frac{e^{x}}{4(1-e^{x})} \right)
$$

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难度评级：★★☆☆☆
（对数求导法步骤固定，主要是代数化简和复合函数求导的细心程度，无特别技巧难点。）