同济高数 第2章 第2-4-4题

[AI解答]

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我们依次求解四个小题的隐函数二阶导数。

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（1）$b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}$

第一步：一阶导数
两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：
$$
2b^{2}x + 2a^{2}y \cdot y' = 0
$$
解得
$$
y' = -\frac{b^{2}x}{a^{2}y}
$$

第二步：二阶导数
对 $y'$ 再求导：
$$
y'' = -\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{y - x y'}{y^{2}}
$$
代入 $y'$：
$$
y'' = -\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{y - x\left(-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}\right)}{y^{2}}
= -\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{y + \frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}y}}{y^{2}}
$$
通分：
$$
y'' = -\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{\frac{a^{2}y^{2} + b^{2}x^{2}}{a^{2}y}}{y^{2}}
= -\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{a^{2}y^{2} + b^{2}x^{2}}{a^{2}y^{3}}
$$
由原方程 $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$，分子为 $a^{2}b^{2}$，故
$$
y'' = -\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}y^{3}}
= -\frac{b^{4}}{a^{2}y^{3}}
$$

答案：
$$
\boxed{y'' = -\frac{b^{4}}{a^{2}y^{3}}}
$$

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（2）$y = \tan(x+y)$

第一步：一阶导数
两边对 $x$ 求导：
$$
y' = \sec^{2}(x+y) \cdot (1+y')
$$
记 $u = x+y$，则
$$
y' = (1+y')\sec^{2}u
$$
移项：
$$
y' - y'\sec^{2}u = \sec^{2}u
$$
$$
y'(1-\sec^{2}u) = \sec^{2}u
$$
因为 $1-\sec^{2}u = -\tan^{2}u$，且 $\tan u = y$，所以
$$
y'(-y^{2}) = 1+y'^{?}
$$
更准确：
由 $1-\sec^{2}u = -\tan^{2}u = -y^{2}$，得
$$
y'(-y^{2}) = \sec^{2}u
$$
而 $\sec^{2}u = 1+\tan^{2}u = 1+y^{2}$，所以
$$
- y^{2} y' = 1+y^{2}
$$
因此
$$
y' = -\frac{1+y^{2}}{y^{2}}
$$

第二步：二阶导数
对 $y'$ 求导：
$$
y'' = -\frac{2y y' \cdot y^{2} - (1+y^{2})\cdot 2y y'}{y^{4}}
$$
简化分子：
$$
y'' = -\frac{2y y' (y^{2} - (1+y^{2}))}{y^{4}}
= -\frac{2y y' (-1)}{y^{4}}
= \frac{2y'}{y^{3}}
$$
代入 $y'$：
$$
y'' = \frac{2\left(-\frac{1+y^{2}}{y^{2}}\right)}{y^{3}}
= -\frac{2(1+y^{2})}{y^{5}}
$$

答案：
$$
\boxed{y'' = -\frac{2(1+y^{2})}{y^{5}}}
$$

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（3）$y = 1 + x e^{y}$

第一步：一阶导数
两边对 $x$ 求导：
$$
y' = e^{y} + x e^{y} y'
$$
移项：
$$
y' - x e^{y} y' = e^{y}
$$
$$
y'(1 - x e^{y}) = e^{y}
$$
所以
$$
y' = \frac{e^{y}}{1 - x e^{y}}
$$
由原方程 $x e^{y} = y-1$，故
$$
y' = \frac{e^{y}}{1 - (y-1)} = \frac{e^{y}}{2-y}
$$

第二步：二阶导数
对 $y'$ 求导：
$$
y'' = \frac{e^{y} y' (2-y) - e^{y}(-y')}{(2-y)^{2}}
= \frac{e^{y} y' (2-y + 1)}{(2-y)^{2}}
= \frac{e^{y} y' (3-y)}{(2-y)^{2}}
$$
代入 $y'$：
$$
y'' = \frac{e^{y} \cdot \frac{e^{y}}{2-y} \cdot (3-y)}{(2-y)^{2}}
= \frac{e^{2y}(3-y)}{(2-y)^{3}}
$$

答案：
$$
\boxed{y'' = \frac{e^{2y}(3-y)}{(2-y)^{3}}}
$$

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（4）$y - 2x = (x-y)\ln(x-y)$

第一步：化简
令 $u = x-y$，则 $y = x - u$，代入：
$$
x - u - 2x = u \ln u
$$
$$
- x - u = u \ln u
$$
即
$$
- x = u(\ln u + 1)
$$
所以
$$
x = -u(\ln u + 1)
$$
而 $y = x - u = -u(\ln u + 1) - u = -u(\ln u + 2)$

第二步：求导
对 $x = -u(\ln u + 1)$ 两边对 $x$ 求导，注意 $u$ 是 $x$ 的函数：
$$
1 = -\left[ u'(\ln u + 1) + u \cdot \frac{1}{u} u' \right]
= -\left[ u'(\ln u + 1) + u' \right]
= -u'(\ln u + 2)
$$
所以
$$
u' = -\frac{1}{\ln u + 2}
$$

**第三步：求 $y'$**
由 $y = x - u$，得
$$
y' = 1 - u' = 1 + \frac{1}{\ln u + 2}
= \frac{\ln u + 3}{\ln u + 2}
$$

第四步：二阶导数
对 $y'$ 求导：
$$
y'' = \frac{ \frac{1}{u} u' (\ln u + 2) - (\ln u + 3)\cdot \frac{1}{u} u' }{(\ln u + 2)^{2}}
= \frac{ \frac{u'}{u} \left[ (\ln u + 2) - (\ln u + 3) \right] }{(\ln u + 2)^{2}}
= \frac{ \frac{u'}{u} \cdot (-1) }{(\ln u + 2)^{2}}
$$
代入 $u' = -\frac{1}{\ln u + 2}$：
$$
y'' = \frac{ -\frac{1}{u} \cdot \left(-\frac{1}{\ln u + 2}\right) }{(\ln u + 2)^{2}}
= \frac{1}{u (\ln u + 2)^{3}}
$$
最后用 $u = x-y$ 表示：
$$
y'' = \frac{1}{(x-y)\left[\ln(x-y) + 2\right]^{3}}
$$

答案：
$$
\boxed{y'' = \frac{1}{(x-y)\left[\ln(x-y)+2\right]^{3}}}
$$

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难度评级：★★★☆☆
原因：四个小题均需隐函数求导技巧，部分涉及变量替换与化简，计算量中等，但思路常规，无特别高难技巧。