同济高数 第2章 第2-4-3题
📝 题目
3．设曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} y-x y^{2}=2$ ，试找出 $C$ 上有水平切线和铅直切线的点．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知曲线方程为
$$
x^{2} y - x y^{2} = 2.
$$
首先，对方程两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数。使用隐函数求导法：
对第一项 $x^{2} y$ 求导：
$$
\frac{d}{dx}(x^{2} y) = 2x y + x^{2} \frac{dy}{dx}.
$$
对第二项 $x y^{2}$ 求导：
$$
\frac{d}{dx}(x y^{2}) = y^{2} + 2x y \frac{dy}{dx}.
$$
右边常数 2 的导数为 0。因此得到
$$
2x y + x^{2} \frac{dy}{dx} - \left( y^{2} + 2x y \frac{dy}{dx} \right) = 0.
$$
整理含 $\displaystyle{}\frac{dy}{dx}$ 的项：
$$
x^{2} \frac{dy}{dx} - 2x y \frac{dy}{dx} = y^{2} - 2x y.
$$
提取公因子：
$$
(x^{2} - 2x y) \frac{dy}{dx} = y^{2} - 2x y.
$$
于是
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} - 2x y}{x^{2} - 2x y}.
$$
分子分母可因式分解：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{y(y - 2x)}{x(x - 2y)}.
$$
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1. 水平切线
水平切线要求 $\displaystyle{}\frac{dy}{dx} = 0$，即分子为零且分母不为零：
$$
y(y - 2x) = 0.
$$
所以 $y = 0$ 或 $y = 2x$。
- 若 $y = 0$，代入原方程 $x^{2} \cdot 0 - x \cdot 0 = 0 \neq 2$，无解，舍去。
- 若 $y = 2x$，代入原方程：
$$
x^{2}(2x) - x(2x)^{2} = 2x^{3} - x \cdot 4x^{2} = 2x^{3} - 4x^{3} = -2x^{3} = 2,
$$
得 $x^{3} = -1$，即 $x = -1$，此时 $y = 2(-1) = -2$。
检查分母：$x(x - 2y) = (-1)(-1 - 2(-2)) = (-1)(-1 + 4) = -3 \neq 0$，有效。
所以水平切点为 $(-1, -2)$。
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2. 铅直切线
铅直切线要求分母为零且分子不为零，即
$$
x(x - 2y) = 0.
$$
所以 $x = 0$ 或 $x = 2y$。
- 若 $x = 0$，代入原方程：$0 - 0 = 2$，不可能，舍去。
- 若 $x = 2y$，代入原方程：
$$
(2y)^{2} y - (2y) y^{2} = 4y^{2} \cdot y - 2y \cdot y^{2} = 4y^{3} - 2y^{3} = 2y^{3} = 2,
$$
得 $y^{3} = 1$，即 $y = 1$，此时 $x = 2$。
检查分子：$y(y - 2x) = 1(1 - 4) = -3 \neq 0$，有效。
所以铅直切点为 $(2, 1)$。
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结论：
水平切线点：$(-1, -2)$
铅直切线点：$(2, 1)$
难度：★★☆☆☆