同济高数 第2章 第2-5-6题

[AI解答]

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本题考察扇形面积的全微分近似计算。扇形面积公式为
$$
S = \frac{1}{2} R^2 \alpha,
$$
其中 $\alpha$ 需用弧度制。已知初始条件：
$\displaystyle \alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ 弧度，$R = 100\ \mathrm{cm}$。
变化量：
第一问：$\Delta \alpha = -30'$，注意 $\displaystyle 1' = \frac{1}{60}^\circ = \frac{\pi}{10800}$ 弧度，所以
$$
\Delta \alpha = -30 \times \frac{\pi}{10800} = -\frac{\pi}{360}\ \text{弧度}.
$$
$R$ 不变，即 $\Delta R = 0$。

面积的全微分近似为
$$
\mathrm{d}S = \frac{\partial S}{\partial R} \mathrm{d}R + \frac{\partial S}{\partial \alpha} \mathrm{d}\alpha.
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial S}{\partial R} = R\alpha,\quad \frac{\partial S}{\partial \alpha} = \frac{1}{2}R^2.
$$
代入初始值：
$$
\frac{\partial S}{\partial R} = 100 \times \frac{\pi}{3} = \frac{100\pi}{3},\quad
\frac{\partial S}{\partial \alpha} = \frac{1}{2} \times 100^2 = 5000.
$$

第一问：$\mathrm{d}R = 0$，$\displaystyle \mathrm{d}\alpha = -\frac{\pi}{360}$，
$$
\Delta S \approx \mathrm{d}S = 0 + 5000 \times \left(-\frac{\pi}{360}\right) = -\frac{5000\pi}{360} = -\frac{125\pi}{9}.
$$
数值近似：$\pi \approx 3.1416$，
$$
\Delta S \approx -\frac{125 \times 3.1416}{9} \approx -\frac{392.7}{9} \approx -43.63\ \mathrm{cm}^2.
$$
所以面积大约减少 $43.63\ \mathrm{cm}^2$。

第二问：$\alpha$ 不变，$\mathrm{d}\alpha = 0$，$R$ 增加 1 cm，即 $\mathrm{d}R = 1$，
$$
\Delta S \approx \mathrm{d}S = \frac{100\pi}{3} \times 1 + 0 = \frac{100\pi}{3}.
$$
数值近似：
$$
\Delta S \approx \frac{100 \times 3.1416}{3} \approx \frac{314.16}{3} \approx 104.72\ \mathrm{cm}^2.
$$
所以面积大约增加 $104.72\ \mathrm{cm}^2$。

最终答案
(1) 扇形面积大约减少 $\displaystyle{}-\frac{125\pi}{9}\ \mathrm{cm}^2$（约 $-43.63\ \mathrm{cm}^2$）。
(2) 扇形面积大约增加 $\displaystyle{}\frac{100\pi}{3}\ \mathrm{cm}^2$（约 $104.72\ \mathrm{cm}^2$）。

难度：★★☆☆☆