同济高数 第2章 第2-5-7题
📝 题目
7．计算下列三角函数值的近似值：
（1） $\cos 29^{\circ}$ ；
（2） $\tan 136^{\circ}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）计算 $\cos 29^\circ$ 的近似值。
首先将角度转换为弧度：
$\displaystyle 29^\circ = \frac{29\pi}{180}$ 弧度。
取 $\displaystyle x_0 = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$，记 $\displaystyle \Delta x = -\frac{\pi}{180}$。
利用微分近似公式：
$$f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$$
对于 $f(x)=\cos x$，有 $f'(x)=-\sin x$。
于是：
$$\cos 29^\circ \approx \cos\frac{\pi}{6} + \left(-\sin\frac{\pi}{6}\right)\left(-\frac{\pi}{180}\right)$$
$$= \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{180}$$
取 $\sqrt{3} \approx 1.73205$，$\pi \approx 3.14159$，则：
$$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866025, \quad \frac{\pi}{360} \approx 0.0087266$$
相加得：
$$\cos 29^\circ \approx 0.874752$$
（更精确值约为 0.87462，误差很小。）
（2）计算 $\tan 136^\circ$ 的近似值。
首先 $136^\circ = 180^\circ - 44^\circ$，利用诱导公式：
$$\tan 136^\circ = \tan(180^\circ - 44^\circ) = -\tan 44^\circ$$
将 $44^\circ$ 转换为弧度：$\displaystyle 44^\circ = \frac{44\pi}{180} = \frac{11\pi}{45}$。
取 $\displaystyle x_0 = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$，$\displaystyle \Delta x = -\frac{\pi}{180}$。
对于 $f(x)=\tan x$，有 $f'(x)=\sec^2 x$。
于是：
$$\tan 44^\circ \approx \tan\frac{\pi}{4} + \sec^2\frac{\pi}{4}\cdot\left(-\frac{\pi}{180}\right)$$
$$= 1 + 2\cdot\left(-\frac{\pi}{180}\right) = 1 - \frac{\pi}{90}$$
取 $\pi \approx 3.14159$，则 $\displaystyle \frac{\pi}{90} \approx 0.0349066$，
所以 $\tan 44^\circ \approx 0.965093$。
因此：
$$\tan 136^\circ \approx -0.965093$$
（更精确值约为 -0.96569，误差很小。）
难度评级：★★☆☆☆
（主要考察微分近似公式与角度弧度转换，计算量小，思路直接。）