同济高数 第2章 第2-5-8题
📝 题目
8．计算下列反三角函数值的近似值：
（1） $\arcsin 0.5002$ ；
（2） $\arccos 0.4995$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1） 计算 $\arcsin 0.5002$ 的近似值。
设 $f(x)=\arcsin x$，取 $x_0=0.5$，$\Delta x=0.0002$。
已知 $\displaystyle \arcsin 0.5 = \frac{\pi}{6}$，且
$$
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
$$
在 $x_0=0.5$ 处，
$$
f'(0.5)=\frac{1}{\sqrt{1-0.25}}=\frac{1}{\sqrt{0.75}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
$$
由微分近似公式 $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$，得
$$
\arcsin 0.5002 \approx \frac{\pi}{6}+\frac{2}{\sqrt{3}}\times 0.0002.
$$
取 $\pi\approx 3.1415926$，$\sqrt{3}\approx 1.7320508$，则
$$
\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1.1547005,\quad 1.1547005\times 0.0002\approx 0.00023094.
$$
而 $\displaystyle \frac{\pi}{6}\approx 0.52359878$，相加得
$$
\arcsin 0.5002 \approx 0.5238297.
$$
（2） 计算 $\arccos 0.4995$ 的近似值。
设 $g(x)=\arccos x$，取 $x_0=0.5$，$\Delta x=-0.0005$。
已知 $\displaystyle \arccos 0.5 = \frac{\pi}{3}$，且
$$
g'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
$$
在 $x_0=0.5$ 处，
$$
g'(0.5)=-\frac{2}{\sqrt{3}}.
$$
由微分近似公式，
$$
\arccos 0.4995 \approx \frac{\pi}{3} + \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\times (-0.0005) = \frac{\pi}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}}\times 0.0005.
$$
计算 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\times 0.0005 \approx 1.1547005\times 0.0005 \approx 0.00057735$，
而 $\displaystyle \frac{\pi}{3}\approx 1.04719755$，相加得
$$
\arccos 0.4995 \approx 1.0477749.
$$
难度：★★☆☆☆