同济高数 第2章 第2-5-9题
📝 题目
9．当 $|x|$ 较小时，证明下列近似公式：
（1） $\tan x \approx x$（ $x$ 是角的弧度值）；
（2） $\ln (1+x) \approx x$ ；
（3）$\displaystyle \sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{1}{n} x$ ；
（4） $\mathrm{e}^{x} \approx 1+x$ ．
并计算 $\tan 45^{\prime}$ 和 $\ln 1.002$ 的近似值．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们利用当 $x \to 0$ 时，函数的一阶泰勒展开（或等价无穷小）来证明这些近似公式。
(1) 证明 $\tan x \approx x$
当 $|x|$ 很小时，由泰勒展开：
$$
\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \cdots
$$
忽略高阶项，得 $\tan x \approx x$。
(2) 证明 $\ln(1+x) \approx x$
由对数函数的展开：
$$
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots
$$
忽略高阶项，得 $\ln(1+x) \approx x$。
(3) 证明 $\sqrt[n]{1+x} \approx 1 + \frac{1}{n}x$
将 $(1+x)^{\frac{1}{n}}$ 展开：
$$
(1+x)^{\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{n}x + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}-1\right)x^2 + \cdots
$$
忽略二次及以上项，得 $\sqrt[n]{1+x} \approx 1 + \frac{1}{n}x$。
(4) 证明 $\mathrm{e}^{x} \approx 1 + x$
指数函数的展开：
$$
\mathrm{e}^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
$$
忽略高阶项，得 $\mathrm{e}^{x} \approx 1 + x$。
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计算近似值：
1. $\tan 45'$
先将 $45'$ 化为弧度：
$$
45' = \frac{45}{60} \text{度} = 0.75^\circ
$$
弧度值为：
$$
x = 0.75 \times \frac{\pi}{180} = \frac{0.75\pi}{180} = \frac{\pi}{240}
$$
近似计算：
$$
\frac{\pi}{240} \approx \frac{3.1416}{240} \approx 0.01309
$$
由公式 $\tan x \approx x$，得：
$$
\tan 45' \approx 0.01309
$$
2. $\ln 1.002$
令 $x = 0.002$，由 $\ln(1+x) \approx x$，得：
$$
\ln 1.002 \approx 0.002
$$
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难度评级： ★☆☆☆☆