同济高数 第3章 第3-1-10题
📝 题目
10．设 $a\gt b\gt 0$ ，证明：$\displaystyle \frac{a-b}{a}\lt \ln \frac{a}{b}\lt \frac{a-b}{b}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
要证明不等式：
$$
\frac{a-b}{a} < \ln\frac{a}{b} < \frac{a-b}{b}, \quad a > b > 0.
$$
步骤1：变量代换
令 $ t = \frac{a}{b} > 1 $，则原不等式化为：
$$
\frac{t-1}{t} < \ln t < t-1.
$$
因此只需证明对任意 $ t > 1 $ 有：
$$
\frac{t-1}{t} < \ln t < t-1.
$$
步骤2：证明右边不等式
考虑函数 $ f(t) = \ln t - (t-1) $，则 $ f(1) = 0 $。
求导：
$$
f'(t) = \frac{1}{t} - 1 = \frac{1-t}{t} < 0 \quad (t > 1).
$$
所以 $ f(t) $ 在 $ t > 1 $ 时严格递减，故 $ f(t) < f(1) = 0 $，即：
$$
\ln t < t-1.
$$
步骤3：证明左边不等式
考虑函数 $ g(t) = \ln t - \frac{t-1}{t} $，则 $ g(1) = 0 $。
求导：
$$
g'(t) = \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} = \frac{t-1}{t^2} > 0 \quad (t > 1).
$$
所以 $ g(t) $ 在 $ t > 1 $ 时严格递增，故 $ g(t) > g(1) = 0 $，即：
$$
\ln t > \frac{t-1}{t}.
$$
步骤4：回代
由 $ t = \frac{a}{b} $ 得：
$$
\frac{a-b}{a} < \ln\frac{a}{b} < \frac{a-b}{b}.
$$
证毕。
难度：★★☆☆☆